Isomorphie und Homomorphie von Gruppen SoSe 2017

Isomorphie von Gruppen Beispiele Deckdrehungen des Quadrates und $[\mathbb{Z}_4,\oplus]$ Wir betrachten die folgenden beiden Gruppen: $[D_4,\odot]$ mit $D_4= \left \{id, D_{90}, D_{180}, D_{270} \right \}$ und $\odot$ ist die NAF von Abbildungen. $[\mathbb{Z}_4,\oplus]$ Die beiden Gruppentafeln sehen wie folgt aus: Tafel 1 $\odot$ $id$ $D_{90}$ $D_{180}$ $D_{270}$ $id$ $id$ $D_{90}$ $D_{180}$ $D_{270}$ $D_{90}$ $D_{90}$ $D_{180}$ $D_{270}$ $id$ $D_{180}$ $D_{180}$ $D_{270}$ $id$ $D_{90}$ $D_{270}$ $D_{270}$ $id$ $D_{90}$ $D_{180}$ Tafel 2 $\oplus$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{0}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{1}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{3}$ $\overline{3}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ Beide Gruppentafeln weisen vom Prinzip her dieselbe Struktur auf: Tafel 3 $\otimes$ $e$ $a$ $b$ $c$ $e$ $e$ $a$ $b$ $c$ $a$ $a$ $b$ $c$ $e$ $b$ $b$ $c$ $e$ $a$ $c$ $c$ $e$ $a$ $b$ wobei sich folgender Zusammenhang ergibt: $id$ verhält sich in Tafel 1 wie $\overline{0}$ in Tafel 2 bzw. wie $e$ ind Tafel 3 $D_{90}$ verhält sich in Tafel 1 wie $\overline{1}$ in Tafel 2 bzw. wie $a$ ind Tafel 3 $D_{180}$ verhält sich in Tafel 1 wie $\overline{2}$ in Tafel 2 bzw. wie $b$ ind Tafel 3 $D_{270}$ verhält sich in Tafel 1 wie $\overline{3}$ in Tafel 2 bzw. wie $c$ ind Tafel 3