Lösung von Aufgabe 11.8

Beweisen Sie Satz VII.6 b:
Wenn ein Punkt $\ P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ ein und denselben Abstand.

Lösung 1

VSS: m ist die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$, $P \in m$
Beh: $a \cong b$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\overline{AM} \cong \overline{BM}$	(Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt), (Def. Mittelsenkrechte)
(II)	es existiert ein Punkt $P \in m$	(VSS)
(III)	$\angle AMP \cong \angle BMP$	(Definition Mittelsenkrechte), (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
(IV)	$\overline{MP} \cong \overline{MP}$	(trivial)
(V)	$\overline{AMP} \cong \overline{BMP}$	(I), (III), (IV), (SWS)
(VI)	$a \cong b$	(V), (Def Dreieckskongruenz)

--> Beh ist wahr.
qed --Löwenzahn 09:36, 3. Jul. 2010 (UTC)

Der Fall P=M sollte bei Schritt IV vielleicht noch ergänzt werden. Wenn P=M, dann hat P den gleichen Abstand zu A und B (Begründung Schritt I) --Principella 17:03, 12. Jul. 2010 (UTC)