Lösung von Aufgabe 12.4

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt \ P auf eine Gerade \ g.

Eindeutigkeit

Voraussetzung: Gerade $\ g$, Punkt $\ P \notin g$, Lot $\ l$von $\ P$ auf $\ g$ mit Lotfußpunkt $\ L$

Behauptung: Es existiert genau ein Lot von $\ P$ auf $\ g$.

Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von $\ P$ auf $\ g$.
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt $\ L'$

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein Dreieck $\overline {PLL'}$	VSS, $\overline {LL'} \in g$, Punkte $\ L L' P$ sind nicht kollinear
(II)	$|\angle LL'P| = 90$	VSS, $\ L'$ ist Lotfußpunkt
(III)	$|\angle PLL'| = 90$	VSS, $\ L$ ist Lotfußpunkt
(IV)	Außenwinkel von $|\angle LL'P| = 90$	Supplementaxiom
(V)	$|\angle PLL'| <$ Außenwinkel von $|\angle LL'P|$ $|\angle PLL'| < 90$	Schwacher Außenwinkelsatz
(VI)	Annahme muss verworfen werden	Widerspruch zwischen (V) und (III)!!!