Serie 02 zum 21.11.17 und 28.11.17
Aufgabe 2.1Unter einer Untergruppe einer Gruppe versteht man eine Teilmenge von , die bezüglich sie eine Gruppe ist. Erstellen sie einen Untergruppengraphen der Gruppe der Deckabbildungen des Quadrates und stellen Sie Beziehungen zum Haus der Vierecke her. Aufgabe 2.2Stellen Sie die Gruppen des Untergruppengraphen aus Aufgabe 2.1 in der Form von Matrizengruppen dar. Aufgabe 2.3Beweisen Sie: In jeder Gruppe ist für beliebige sind die Gleichungen und immer eindeutig lösbar für beliebige . Aufgabe 2.4.Beweisen Sie: In jeder Gruppe gilt für beliebige . Aufgabe 2.5Es sei eine Gruppe. Beweisen Sie: In der Gruppentafel von tritt jedes Element aus in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einmal auf. Aufgabe 2.6Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl der Elemente von . Untersuchen Sie die Untergruppengraphen aus Aufgabe 2.1 hinsichtlich der auftretenden Gruppenordnungen in diesem Graphen. Was stellen Sie fest? Aufgabe 2.7Unter der Ordnung eines Elementes einer Gruppe versteht man die kleinste Zahl für die gilt , wobei unter das neutrale Element der Gruppe zu verstehen ist. Bestimmen Sie alle Elementordnungen in folgenden Gruppen
Aufgabe 2.8Es sei eine Gruppe in deren Gruppentafel in der Hauptdiagonalen an jeder Position das Einselement der Gruppe auftritt. Was wissen Sie über die Ordnungen aller Elemente von ? Aufgabe 2.9Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, in der es ein Element gibt, dessen Ordnung gleich der Gruppenordnung ist. Beweisen Sie: zyklische Gruppen sind immer kommutativ. Aufgabe 2.10Beweisen Sie:
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