Serie 02 zum 21.11.17 und 28.11.17

Aufgabe 2.1 Unter einer Untergruppe einer Gruppe $[G,\odot]$ versteht man eine Teilmenge $U$ von $G$, die bezüglich $\odot$ sie eine Gruppe ist. Erstellen sie einen Untergruppengraphen der Gruppe der Deckabbildungen des Quadrates und stellen Sie Beziehungen zum Haus der Vierecke her. Aufgabe 2.2 Stellen Sie die Gruppen des Untergruppengraphen aus Aufgabe 2.1 in der Form von Matrizengruppen dar. Aufgabe 2.3 Beweisen Sie: In jeder Gruppe ist für beliebige $[G,\otimes]$ sind die Gleichungen $a \otimes x=b$ und $y \otimes a=b$ immer eindeutig lösbar für beliebige $a,b \in G$. Aufgabe 2.4. Beweisen Sie: In jeder Gruppe $[G,\odot]$ gilt für beliebige $a, b \in G: (a\odot b)^{-1}=b^{-1}\odot a^{-1}$. Aufgabe 2.5 Es sei $[G, \oplus]$ eine Gruppe. Beweisen Sie: In der Gruppentafel von $[G, \oplus ]$ tritt jedes Element aus $G$ in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einmal auf. Aufgabe 2.6 Unter der Ordnung $|G|$einer Gruppe $[G,\cdot]$ versteht man die Anzahl der Elemente von $G$. Untersuchen Sie die Untergruppengraphen aus Aufgabe 2.1 hinsichtlich der auftretenden Gruppenordnungen in diesem Graphen. Was stellen Sie fest? Aufgabe 2.7 Unter der Ordnung $|g|$ eines Elementes $g$ einer Gruppe $[G,+]$ versteht man die kleinste Zahl $m \in \mathbb{N}$ für die gilt $g^m=n$, wobei unter $n$ das neutrale Element der Gruppe $[G,+]$ zu verstehen ist. Bestimmen Sie alle Elementordnungen in folgenden Gruppen Restklassen modulo $7$ bezüglich der Restklassenaddition, Restklassen modulo $7$ bezüglich der Restklassenmultiplikation. Aufgabe 2.8 Es sei $[G,*]$ eine Gruppe in deren Gruppentafel in der Hauptdiagonalen an jeder Position das Einselement $e$ der Gruppe $[G,*]$ auftritt. Was wissen Sie über die Ordnungen aller Elemente von $[G,*]$? Aufgabe 2.9 Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, in der es ein Element gibt, dessen Ordnung gleich der Gruppenordnung ist. Beweisen Sie: zyklische Gruppen sind immer kommutativ. Aufgabe 2.10 Beweisen Sie: Es gibt genau eine Typ von Gruppen der Ordnung 3. Es gibt genau zwei Typen von Gruppen der Ordnung 4.