Gruppendefinition (Gleichung)

Eindeutigkeit des Einslementes Satz 3 Jede Gruppe hat genau ein Einslement. Beweis von Satz 3 Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat $[G, \odot]$ eine Einslement $e_1$. Es bleibt zu zeigen, dass $[G, \odot]$ kein weiteres Einslement $e_2$ hat. Wir nehmen an es gibt $e_2$ mit $e_2 \neq e_1$. Nach Satz 2 sind $e_1$ und $e_2$ von links und von rechts Einselemente. Wir gehen aus von der Gleichung $e_1 \odot e_2=e_1 \odot e_2$. Aus dieser Gleichung folgt wegen der Einslement eigenschaft beider Elemente $e_1$ und $e_2$ (und das sowohl von rechts, wie auch von links) $e_1=e_2$. Eindeutigkeit der inversen Elemente Satz 4 In jeder Gruppe $[G, \odot]$ gilt: Jedes Gruppenelement $g \in G$ hat genau ein inverses Element. Beweis von Satz 4 Es sei $g \in G$. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat $g$ in $G$ ein Inverses $g_1^{-1}$.