Eindeutigkeit des Einslementes
Satz 3
Jede Gruppe hat genau ein Einslement.
Beweis von Satz 3
Es sei eine Gruppe. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat eine Einslement . Es bleibt zu zeigen, dass kein weiteres Einslement hat. Wir nehmen an es gibt mit . Nach Satz 2 sind und von links und von rechts Einselemente. Wir gehen aus von der Gleichung . Aus dieser Gleichung folgt wegen der Einslement eigenschaft beider Elemente und (und das sowohl von rechts, wie auch von links) .
Eindeutigkeit der inversen Elemente
Satz 4
In jeder Gruppe gilt: Jedes Gruppenelement hat genau ein inverses Element.
Beweis von Satz 4
Es sei eine Gruppe mit dem Einslement . Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat in ein Inverses bezüglich . Wir nehmen an, hat in ein weiteres Inverses , das natürlich von verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass und von links und von rechts invers zu bzgl. sind.
Die triviale Gleichung "pumpen" wir zu auf.
multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit und erhalten .
verkürzt sich zu , was ein Widerspruch zu unserer Annahme ist.
Kürzbarkeit
Satz 5
Es sei eine Gruppe. Für alle Elemente gilt:
-
-
Beweis von Satz 5
Jeweils von rechts bzw. links beide Seiten der Gleichung mit multiplizieren.
Lösbarkeit der Gleichungen
Satz 6
In jeder Gruppe sind die Gleichungen
-
und
-
jeweils eindeutig lösbar.
Beweis von Satz 6
Wir führen den Beweis nur für die Gleichung , für die Gleichung wird der Beweis analog geführt.
Existenzbeweis
Wir setzen : .
Eindeutigkeitsbeweis
Es seien und Lösungen der Gleichung . Damit folgt . Nach Satz 5 gilt
Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind ist eine Gruppe
Satz 7
Es sei ein Monoid. sei das Einslement dieses Monoids. Wenn die Gleichungen
-
und
-
in lösbar sind, dann ist das Monoid sogar eine Gruppe.
Beweis von Satz 7
Wir haben zu zeigen, dass zu jedem Element ein Inverses in existiert. Wegen der Lösbarkeit der Gleichungen 1 und 2 sind auch die Gleichungen
-
und
-
lösbar.
|