Lösung von Aufgabe 8.1

Es sei $\ \Epsilon$ eine Ebene, die durch die Gerade $\ g$ in die beiden Halbebenen $gQ^+$ und $gQ^-$ eingeteilt wird. Ferner sei $\ R$ ein Punkt der Halbebene $\ gQ^-$, der nicht auf der Trägergeraden $\ g$ liegen möge. Beweisen Sie: $\ gR^+ \equiv gQ^-$ und $\ gR^- \equiv gQ^+$

Lösung

Voraussetzung: $\ {gQ}^{+}$ und $\ {gQ}^{-}$ $R \in {gQ}^{-}$ mit $R \not \in g$
Behauptung: ${gR}^{+} \equiv {gQ}^{-}$ und ${gR}^{-} \equiv {gQ}^{+}$, d. h.
1) $\forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow P\in {gR}^{+}$
2) $\forall P\in {gQ}^{+} \Rightarrow P\in {gR}^{-}$
zu 1)

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow \overline {PQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace$	nach Definition Halbebene
(II)	$\overline {RQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace$	nach Voraussetzung und Definition Halbebene
(III)	$\overline {RP} \cap g = \lbrace \rbrace$	Axiom v. Pasch
(IV)	$\ P\in {gR}^{+}$	(III) und Definition Halbebene

zu 2) analog zu 1)