analytische Geometrie SoSe 2018

Das Wiki für die Lehrveranstaltung "Lineare Algebra/analytische Geometrie", Sommersemester 2017 Literatur Literatur Aus früheren Semestern Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra_analytische Geometrie SoSe 2017 Übungsaufgaben SoSe 2017 Übungsaufgaben SoSe 2018 Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen und zwei Gleichungen Allgemeine lineare Gleichung mit zwei Variablen ax + by + c = 0 $\begin{align} ax+by=c \\ a, b, c \in \mathbb{R} \\ x, y \in \mathbb{R}, \end{align}$ [ www.geogebra.org is not an authorized iframe site ] Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by=c Es seien $a, b, c \in \mathbb{R}$ , beliebig aber fest, $a, b$ nicht gleichzeitig $0$, $x,y \in \mathbb{R}$, variabel. Wir untersuchen die Gleichung (I) $ax+by=c$ Satz 1: Die Gleichung (II) $ax+by=c$ beschreibt die Menge aller Punkte einer Geraden in der reellen Zahlenebene. Beweis: Aus der Schule ist die folgende Gleichung für Geraden bekannt: $y=mx+b$, $m,b \in \mathbb{R}$, beliebig aber fest, $x,y \in \mathbb{R}$ variabel. Wir führen zwei Beweise: Wir zeigen, dass jede Gleichung vom Typ (I) durch äquivalente Umformungen in eine Gleichung vom Typ (II) überführt werden kann. Wir zeigen, dass umgekehrt (fast) jede Gleichung vom Typ (II) durch äquivalente Umformungen in den Typ (I) überführt werden können. Ausführung des Beweises: Übungsaufgaben 1.1 und 1.2 in Serie 1: Geraden in der Ebene, zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten SoSe 2018 Algebraische Beschreibung der Lösungsmenge einer Gleichung der Form $ax+by=c$ Voraussetzung Wir schließen aus, dass $a$ und $b$ gleichzeitig $0$ sind: $a^2 +b^2 \not = 0$ Fall 1: $b \not =0$ $\begin{align} ax+by &= c \\ by &= -ax+c \\ y &= \frac{-ax+c}{b} \\ y &= -\frac{a}{b}x+\frac{b}{c} \end{align}$ $L=\left \{ (x\vert y) \left \vert \begin{align} x&= t \\ y&= -\frac{a}{b}t+\frac{b}{c} \end{align} ; t \in \mathbb{R} \right. \right \}$ Falls $a=0$ vereinfacht sich die Lösungsmenge $L$ zu: $L=\left \{ (x\vert y) \left \vert \begin{align} x&= t \\ y&= \frac{b}{c} \end{align} ; t \in \mathbb{R} \right. \right \}$ Fall 2: $b=0$ $\begin{align} a x &=c \\ x&=\frac{c}{a} \end{align}$ $L=\left \{ (x\vert y) \left \vert \begin{align} x&= \frac{c}{a} \\ y&= t\end{align} ; t \in \mathbb{R} \right. \right \}$ Zusammenfassung $a \not = 0 \land b \not = 0$ :Gerade, die weder zur $x-$ noch zur $y-$Achse parallel ist. $a = 0 \land b \not = 0$ : Gerade, die parallel zur $x-$Achse ist. $a \not = 0 \land b = 0$ : Gerade, die parallel zur $y-$Achse ist. Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten Das Gleichsetzungsverfahren $\begin{align} 4x - 5y &=13 \\ 3x +4y &=3 \end{align}$ Wir stellen beide Gleichungen nach $y$ um: $\begin{align} y &=& \frac{4}{5}x &- &\frac{13}{5} \\ y &=& -\frac{3}{4}x &+ &\frac{3}{4} \end{align}$ Gleichsetzen der rechten Seiten: $\frac{4}{5}x - \frac{13}{5} = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}$ Vereinfachen: $x=\frac{67}{31}$ $\begin{align} y &=& \frac{4}{5}x &- &\frac{13}{5} \\ y &=& \frac{4}{5}\frac{67}{31} &- &\frac{13}{5} \\ y &=& -\frac{27}{31} \end{align}$ [ www.geogebra.org is not an authorized iframe site ] Das Additionsverfahren Äquivalenzumformungen für Lineare Gleichungssysteme Vertauschen zweier Gleichungen Multiplikation einer Gleichung mit einer reellen Zahl $r, r \not = 0$ Addition zweier Gleichungen Beispiel 1 $\begin{align} \text{(I)} && 5x + 7y &= 4 && \\ \text{(II)} && 3x + 11y &= 1 && \\ \hline \text{(I)} && 5x + 7y &= 4 && \vert  : 5\\ \text{(II)} && 3x + 11y &= 1 && \\ \hline \text{(I')} && 1x + \frac{7}{5}y &= \frac{4}{5} && \\ \text{(II)} && 3x + 11y &= 1 && \\ \hline \text{(I')} && 1x + \frac{7}{5}y &= \frac{4}{5} && \\ \text{(II-3I')} && \frac{34}{5}y &=-\frac{7}{5} && \\ \hline \text{(I')} && 1x + \frac{7}{5}y &= \frac{4}{5} && \\ \text{(II')} && y &= -\frac{7}{34} && \\ \hline \text{(I')}\cdot -\frac{7}{5}\text{(II')} && x ~~~ &= \frac{37}{34} && \\ \text{(II')} && y &= -\frac{7}{34} && \\ \hline \end{align}$ [ www.geogebra.org is not an authorized iframe site ]