Aufgabe 1.1
Unter der symmetrischen Gruppe versteht man die Gruppe der Permutationen von Elementen bezüglich der NAF von Permutationen.
Generieren Sie die Verknüpfungstabelle der .
Aufgabe 1.2
Die symmetrische Gruppe besteht aus 6 Permutationen. Interpretieren Sie die als Deckabbildungsgruppe eines regelmäßigen n-Ecks.
Aufgabe 1.3
Unter verstehen wir alle Restklassen modulo , d.h. in der Klasse liegen alle ganzen Zahlen die denselben Rest bei Division durch wie die ganze Zahl lassen. Die Addition zweier Restklassen und ist wie folgt definiert: . Beweisen Sie:
Die Restklassenaddition der Restklassen modulo ist repräsentantenunabhängig, d.h. es gilt:
Aufgabe 1.4
Beweisen Sie, dass eine Gruppe ist.
Aufgabe 1.5
Es sei die Menge der Restklassen modulo ohne die Klasse . Beweisen Sie, dass diese Menge von Restklassen bzgl. der Retsklassenmultiplikation eine Gruppe bildet.
Aufgabe 1.6
Es sei die Menge der natürlichen Zahlen (ohne Null) zusammen mit der üblichen Multiplikation. Welche Gruppenaxiome sind in erfüllt und welche nicht?
Aufgabe 1.7
Es sei die Menge aller Matrizen ohne die Matrix, die nur aus Nullen besteht. Untersuchen Sie, ob bzgl. der üblichen Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.
Aufgabe 1.8
Geben Sie eine vierelementige Teilmenge aus an, die bzgl. der Matrizenmultiplikation eine Gruppe ist.
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