Das Wiki für die Lehrveranstaltung "Lineare Algebra/analytische Geometrie", Sommersemester 2017
Literatur
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Aus früheren Semestern
Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen und zwei Gleichungen
Allgemeine lineare Gleichung mit zwei Variablen
ax + by + c = 0
![\begin{align}
ax+by=c \\
a, b, c \in \mathbb{R} \\
x, y \in \mathbb{R},
\end{align}](/images/math/8/c/4/8c4268919440d64cf3837eb3dcd58360.png)
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Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by=c
Es seien , beliebig aber fest, nicht gleichzeitig ,
, variabel. Wir untersuchen die Gleichung
(I)
Satz 1:
- Die Gleichung (II)
beschreibt die Menge aller Punkte einer Geraden in der reellen Zahlenebene.
Beweis:
Aus der Schule ist die folgende Gleichung für Geraden bekannt: , , beliebig aber fest, variabel.
Wir führen zwei Beweise:
- Wir zeigen, dass jede Gleichung vom Typ (I) durch äquivalente Umformungen in eine Gleichung vom Typ (II) überführt werden kann.
- Wir zeigen, dass umgekehrt (fast) jede Gleichung vom Typ (II) durch äquivalente Umformungen in den Typ (I) überführt werden können.
Ausführung des Beweises: Übungsaufgaben 1.1 und 1.2 in Serie 1: Geraden in der Ebene, zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten SoSe 2018
Algebraische Beschreibung der Lösungsmenge einer Gleichung der Form ![ax+by=c](/images/math/f/b/0/fb08d90402b8f9d1dfcef6c7265250dc.png)
Voraussetzung
Wir schließen aus, dass und gleichzeitig sind:
Fall 1: ![b \not =0](/images/math/5/5/e/55e8e34d75bbea0fe1cdba15d9a3663b.png)
![L=\left \{ (x\vert y) \left \vert \begin{align} x&= t \\ y&= -\frac{a}{b}t+\frac{b}{c} \end{align} ; t \in \mathbb{R} \right. \right \}](/images/math/2/5/5/2558e3ee617046169c8c4433c8334bdf.png)
Falls vereinfacht sich die Lösungsmenge zu:
![L=\left \{ (x\vert y) \left \vert \begin{align} x&= t \\ y&= \frac{b}{c} \end{align} ; t \in \mathbb{R} \right. \right \}](/images/math/5/f/9/5f99138ffa4bac2c440cd906a7e04af8.png)
Fall 2: ![b=0](/images/math/f/6/d/f6d5eef5ee5e51fc839bb54201c62e3b.png)
![\begin{align}
a x &=c \\
x&=\frac{c}{a}
\end{align}](/images/math/5/e/7/5e7f827e1b9b4af4aef4269f2c270622.png)
![L=\left \{ (x\vert y) \left \vert \begin{align} x&= \frac{c}{a} \\ y&= t\end{align} ; t \in \mathbb{R} \right. \right \}](/images/math/c/3/0/c30fe8f37b2541dae293f5918aac1521.png)
Zusammenfassung
-
:Gerade, die weder zur noch zur Achse parallel ist.
-
: Gerade, die parallel zur Achse ist.
-
: Gerade, die parallel zur Achse ist.
Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten
Das Gleichsetzungsverfahren
![\begin{align}
4x - 5y &=13 \\
3x +4y &=3
\end{align}](/images/math/a/f/6/af6ac46ead5b0ee9c57504ea401996ac.png)
Wir stellen beide Gleichungen nach um:
Gleichsetzen der rechten Seiten:
![\frac{4}{5}x - \frac{13}{5} = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}](/images/math/a/3/b/a3b9e9cc129fd2858929a6b30b21e1d3.png)
Vereinfachen:
![x=\frac{67}{31}](/images/math/7/e/a/7ea977ebaf0bd53dd20c2da535f27eef.png)
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Das Additionsverfahren
Äquivalenzumformungen für Lineare Gleichungssysteme
- Vertauschen zweier Gleichungen
- Multiplikation einer Gleichung mit einer reellen Zahl
- Addition zweier Gleichungen
Beispiel 1
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