Allgemeine lineare Gleichung mit zwei Variablen

ax + by + c = 0

$\begin{align} ax+by=c \\ a, b, c \in \mathbb{R} \\ x, y \in \mathbb{R}, \end{align}$
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Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by=c

Es seien $a, b, c \in \mathbb{R}$ , beliebig aber fest, $a, b$ nicht gleichzeitig $0$,
$x,y \in \mathbb{R}$, variabel.
Wir untersuchen die Gleichung
(I) $ax+by=c$

Satz 1:

Die Gleichung (II) $ax+by=c$ beschreibt die Menge aller Punkte einer Geraden in der reellen Zahlenebene.

Beweis:
Aus der Schule ist die folgende Gleichung für Geraden bekannt: $y=mx+b$, $m,b \in \mathbb{R}$, beliebig aber fest, $x,y \in \mathbb{R}$ variabel. Wir führen zwei Beweise:

1. Wir zeigen, dass jede Gleichung vom Typ (I) durch äquivalente Umformungen in eine Gleichung vom Typ (II) überführt werden kann.
2. Wir zeigen, dass umgekehrt (fast) jede Gleichung vom Typ (II) durch äquivalente Umformungen in den Typ (I) überführt werden können.

Ausführung des Beweises: Übungsaufgaben 1.1 und 1.2 in Serie 1: Geraden in der Ebene, zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten SoSe 2018

Algebraische Beschreibung der Lösungsmenge einer Gleichung der Form $ax+by=c$

Voraussetzung

Wir schließen aus, dass $a$ und $b$ gleichzeitig $0$ sind: $a^2 +b^2 \not = 0$

Fall 1: $b \not =0$

$\begin{align} ax+by &= c \\ by &= -ax+c \\ y &= \frac{-ax+c}{b} \\ y &= -\frac{a}{b}x+\frac{b}{c} \end{align}$

$L=\left \{ (x\vert y) \left \vert \begin{align} x&= t \\ y&= -\frac{a}{b}t+\frac{b}{c} \end{align} ; t \in \mathbb{R} \right. \right \}$
Falls $a=0$ vereinfacht sich die Lösungsmenge $L$ zu:
$L=\left \{ (x\vert y) \left \vert \begin{align} x&= t \\ y&= \frac{b}{c} \end{align} ; t \in \mathbb{R} \right. \right \}$

Fall 2: $b=0$

$\begin{align} a x &=c \\ x&=\frac{c}{a} \end{align}$
$L=\left \{ (x\vert y) \left \vert \begin{align} x&= \frac{c}{a} \\ y&= t\end{align} ; t \in \mathbb{R} \right. \right \}$