Allgemeine lineare Gleichung mit zwei Variablen
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ax + by + c = 0
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Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by=c
Es seien , beliebig aber fest,
nicht gleichzeitig
,
, variabel.
Wir untersuchen die Gleichung
(I)
Satz 1:
- Die Gleichung (II)
beschreibt die Menge aller Punkte einer Geraden in der reellen Zahlenebene.
Beweis:
Aus der Schule ist die folgende Gleichung für Geraden bekannt: ,
, beliebig aber fest,
variabel.
Wir führen zwei Beweise:
- Wir zeigen, dass jede Gleichung vom Typ (I) durch äquivalente Umformungen in eine Gleichung vom Typ (II) überführt werden kann.
- Wir zeigen, dass umgekehrt (fast) jede Gleichung vom Typ (II) durch äquivalente Umformungen in den Typ (I) überführt werden können.
Ausführung des Beweises: Übungsaufgaben 1.1 und 1.2 in Serie 1: Geraden in der Ebene, zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten SoSe 2018
Algebraische Beschreibung der Lösungsmenge einer Gleichung der Form ![ax+by=c](/images/math/f/b/0/fb08d90402b8f9d1dfcef6c7265250dc.png)
Voraussetzung
Wir schließen aus, dass und
gleichzeitig
sind:
Fall 1: ![b \not =0](/images/math/5/5/e/55e8e34d75bbea0fe1cdba15d9a3663b.png)
Falls vereinfacht sich die Lösungsmenge
zu:
Fall 2: ![b=0](/images/math/f/6/d/f6d5eef5ee5e51fc839bb54201c62e3b.png)