Lösung von Aufgabe 12.9

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Version vom 15. Juli 2010, 00:34 Uhr von Heinzvaneugen (Diskussion | Beiträge)

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Es gelte der Innenwinkelsatz für Dreiecke. Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.

Starke Außenwinkelsatz: In jedem Dreieck ist das Maß eines jeden Außenwinkels so groß wie die Summe der Größen der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

Lösung 1

VSS: Dreieck \overline{ABC}, \ \alpha, \beta, \gamma sind Innenwinkel des Dreiecks \overline{ABC}, \ \gamma^{'} ist Außenwinkel.
Es gelte der Satz zur Innenwinkelsumme im Dreieck!
Beh: aBdA: \ |\alpha| + |\beta| = |\gamma^{'}|

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \ |\gamma^{'}| + |\gamma| = 180 (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
(II) \ |\alpha| + |\beta| + |\gamma| = 180 (Satz Innenwinkelsumme im Dreieck)
(III) \ |\gamma^{'}| + |\gamma| = | \alpha| + |\beta| + |\gamma| (I), (II), (rechnen mit reellen Zahlen)
(IV) \ |\gamma^{'}| = |\alpha| + |\beta| (III), (rechnen mit reellen Zahlen)

--> Beh ist wahr. analoge Beweisführung für \ |\alpha^{'}| und \ |\beta^{'}| bzgl den entsprechenden nichtanliegenden Innenwinkeln.
--Löwenzahn 09:58, 14. Jul. 2010 (UTC)