Lösung von Aufgabe 12.9

Es gelte der Innenwinkelsatz für Dreiecke. Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.

Starke Außenwinkelsatz: In jedem Dreieck ist das Maß eines jeden Außenwinkels so groß wie die Summe der Größen der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

Lösung 1

VSS: Dreieck $\overline{ABC}$, $\ \alpha, \beta, \gamma$ sind Innenwinkel des Dreiecks $\overline{ABC}$, $\ \gamma^{'}$ ist Außenwinkel.
Es gelte der Satz zur Innenwinkelsumme im Dreieck!
Beh: aBdA: $\ |\alpha| + |\beta| = |\gamma^{'}|$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\ |\gamma^{'}| + |\gamma|$ = 180	(Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
(II)	$\ |\alpha| + |\beta| + |\gamma|$ = 180	(Satz Innenwinkelsumme im Dreieck)
(III)	$\ |\gamma^{'}| + |\gamma| = | \alpha| + |\beta| + |\gamma|$	(I), (II), (rechnen mit reellen Zahlen)
(IV)	$\ |\gamma^{'}| = |\alpha| + |\beta|$	(III), (rechnen mit reellen Zahlen)

--> Beh ist wahr. analoge Beweisführung für $\ |\alpha^{'}|$ und $\ |\beta^{'}|$ bzgl den entsprechenden nichtanliegenden Innenwinkeln.
--Löwenzahn 09:58, 14. Jul. 2010 (UTC)