Untergruppen, Untergruppenkriterien

Beispiele, Gegenbeispiele Beispiel 1 Wir gehen von der additiven Gruppe der Restklassen modulo 6 aus $[\mathbb{Z}_6, \oplus]$. Die Gruppe besteht aus den folgenden Restklassen: $\mathbb{Z}_6=\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5} \}$ Die Gruppentafel sieht wie folgt aus: $\oplus$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{1}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{3}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{5}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ Wir wählen aus $\mathbb{Z}_6$ die folgende Teilmenge $2\mathbb{Z}_6$aus: $2\mathbb{Z}_6:=\{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\}$ $[2\mathbb{Z}_6, \oplus]$ ist eine Gruppe und damit eine Untergruppe von $[\mathbb{Z}_6, \oplus]$ $\oplus$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{0}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{2}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{0}$ $\overline{4}$ $\overline{4}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ Beispiel 2 Die Gruppe der Bewegungen Die Gruppenmitglieder Unter einer Bewegung $\beta$ versteht man eine abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich: Es sei $\varepsilon$ unsere Ebene. $\beta$ ist Relation $\forall P \in \varepsilon \exist P' \in \varepsilon: P'=\beta(P)$ $\beta$ ist eindeutig und damit Abbildung $\forall P \in \varepsilon: P'=\beta(P) \land P^*=\beta(P) \Rightarrow P'=P^*$ $\beta$ ist abstandserhaltend $\forall P, Q \in \varepsilon: \vert PQ \vert = \vert \beta(P) \beta(Q)\vert$ Die Menge aller Bewegungen wollen wir mit $\Beta$ bezeichnen. Die Verknüpfung