Untergruppen, Untergruppenkriterien

Beispiele, Gegenbeispiele Beispiel 1 Wir gehen von der additiven Gruppe der Restklassen modulo 6 aus $[\mathbb{Z}_6, \oplus]$. Die Gruppe besteht aus den folgenden Restklassen: $\mathbb{Z}_6=\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5} \}$ Die Gruppentafel sieht wie folgt aus: $\oplus$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{1}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{3}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{5}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ Wir wählen aus $\mathbb{Z}_6$ die folgende Teilmenge $2\mathbb{Z}_6$aus: $2\mathbb{Z}_6:=\{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\}$ $[2\mathbb{Z}_6, \oplus]$ ist eine Gruppe und damit eine Untergruppe von $[\mathbb{Z}_6, \oplus]$ $\oplus$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{0}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{2}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{0}$ $\overline{4}$ $\overline{4}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ Beispiel 2 Die Gruppe der Bewegungen Die Gruppenmitglieder Unter einer Bewegung $\beta$ versteht man eine abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich: Es sei $\varepsilon$ unsere Ebene. $\beta$ ist Relation $\forall P \in \varepsilon \exist P' \in \varepsilon: P'=\beta(P)$ $\beta$ ist eindeutig und damit Abbildung $\forall P \in \varepsilon: P'=\beta(P) \land P^*=\beta(P) \Rightarrow P'=P^*$ $\beta$ ist abstandserhaltend $\forall P, Q \in \varepsilon: \vert PQ \vert = \vert \beta(P) \beta(Q)\vert$ Die Menge aller Bewegungen wollen wir mit $\Beta$ bezeichnen. Die Verknüpfung wir wählen als Verknüpfung auf $\Beta$ die NAF von Abbildungen und kennzeichnen diese mit $\circ$. $[\Beta, \circ]$ ist Gruppe Abgeschlossenheit Es seien $\alpha$ und $\beta$ zwei Bewegungen. Wir haben zu zeigen, dass $\alpha \circ \beta$ eine Bewegung ist. Da die NAF zweier Abbildungen der Ebene auf sich ist tivialerweise wieder eine Abbildung der Ebene auf sich. Wir müssen nur zeigen dass $\alpha \circ \beta$ abstandserhaltend ist: $\begin{matrix} (1) & \vert PQ \vert = \vert \alpha(P) \alpha(Q) \vert & \alpha \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend} \\ (2) & \vert \alpha(P) \alpha(Q) \vert = \vert \beta(\alpha(P)) \beta(\alpha(Q)) \vert & \beta \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend} \\ (3) & \vert PQ \vert= \vert \beta(\alpha(P)) \beta(\alpha(Q)) \vert & (1), (2) \end{matrix}$ Assoziativität Die NAF von Abbildungen ist immer assoziativ. Einselement Wir betrachten die Abbildung $\operatorname{id}$, die jeden Punkt die Abbildung der ebene auf sich selbst abbildet: $\forall P \in \varepsilon: \operatorname{id}(P)=P$ Damit ist $\operatorname{id}$ eine Abbildung der Ebene auf sich. Wegen $\operatorname{id}(A)=A \land \operatorname{id}(B)= B, \forall A,B \in \varepsilon$ gilt natürlich auch $\vert AB\vert = \vert \operatorname{id}(A) \operatorname{id}(B)\vert$. $\operatorname{id}$ erfüllt die Eigenschaften eines Einselementes: $\forall P \in \varepsilon : \beta \circ \operatorname{id}(P)= \operatorname{id}(\beta(P))=\beta(P)$ und somit $\operatorname{id} \circ \beta = \beta$. inverse Elemente Es genügt zu zeigen, dass jede Bewegung $\beta$ eineindeutig ist, d.h. dass jeder Punkt $\R \in \varepsilon$ bei $\beta$ ein und nur ein Urbild $Q \in \varepsilon$ hat. Injektivität von $\beta$ Sei $P'$ das Bild von $P$ bei der Bewegung $\beta$. Wir haben zu zeigen, dass es keinen Punkt $Q \in \varepsilon, Q \not \equiv P$ gibt, der durch $\beta$ auch auf $P'$ abgebildet wird. Wir nahemen, an, dass es einen solchen Punkt $Q$ gibt. Dann gilt: $0=\vert P'P' \vert = \vert PQ \vert$ und damit $P \equiv Q$, was ein Widerspruch zur Annahme $P \not \equiv Q$ ist. Surjektivität von $\beta$ Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt $Q \in \varepsilon$ bei der Bewegung $\beta$ ein Urbild hat. Annahme: $Q$ hat kein Urbild bei $\beta$. Da jeder Punkt der Ebene $\varepsilon$ durch $\beta$ auf genau einen Punkt der Ebene $\varepsilon$ abgebildet wird und der Punkt $Q$ kein Urbild hat, müssen wenigstens zwei verschiedene Punkte $A$ und $B$ aus $\varepsilon$ durch $\beta$ auf ein und denselben Punkt $C$ abgebildet werden: $A \overset{\beta}{\rightarrow} C$ $B \overset{\beta}{\rightarrow} C$ Wegen $\vert CC \vert = 0 = \vert \beta(A) \beta(B) \vert$ müssen $A$ und $B$ ein und derselbe Punkt, also identisch sein. Das ist ein Widerspruch zu $A\not\equiv B$. Unsere Annahme $Q$ hat kein Urbild ist also zu verwerfen. Die Untergruppe der Drehungen um ein und denselben Punkt Drehungen Eine Bewegung die entweder die Identität ist oder genau einen Fixpunkt $Z$ besitzt, heißt Drehung um $Z$.