Untergruppen, Untergruppenkriterien

Beispiele, Gegenbeispiele Beispiel 1 Wir gehen von der additiven Gruppe der Restklassen modulo 6 aus $[\mathbb{Z}_6, \oplus]$. Die Gruppe besteht aus den folgenden Restklassen: $\mathbb{Z}_6=\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5} \}$ Die Gruppentafel sieht wie folgt aus: $\oplus$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{1}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{3}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{5}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ Wir wählen aus $\mathbb{Z}_6$ die folgende Teilmenge $2\mathbb{Z}_6$aus: $2\mathbb{Z}_6:=\{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\}$ $[2\mathbb{Z}_6, \oplus]$ ist eine Gruppe und damit eine Untergruppe von $[\mathbb{Z}_6, \oplus]$ $\oplus$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{0}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{2}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{0}$ $\overline{4}$ $\overline{4}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ Beispiel 2 Die Gruppe der Bewegungen Die Gruppenmitglieder Unter einer Bewegung $\beta$ versteht man eine abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich: Es sei $\varepsilon$ unsere Ebene. $\beta$ ist Relation $\forall P \in \varepsilon \exist P' \in \varepsilon: P'=\beta(P)$ $\beta$ ist eindeutig und damit Abbildung $\forall P \in \varepsilon: P'=\beta(P) \land P^*=\beta(P) \Rightarrow P'=P^*$ $\beta$ ist abstandserhaltend $\forall P, Q \in \varepsilon: \vert PQ \vert = \vert \beta(P) \beta(Q)\vert$ Die Menge aller Bewegungen wollen wir mit $\Beta$ bezeichnen. Die Verknüpfung wir wählen als Verknüpfung auf $\Beta$ die NAF von Abbildungen und kennzeichnen diese mit $\circ$. $[\Beta, \circ]$ ist Gruppe Abgeschlossenheit Es seien $\alpha$ und $\beta$ zwei Bewegungen. Wir haben zu zeigen, dass $\alpha \circ \beta$ eine Bewegung ist. Da die NAF zweier Abbildungen der Ebene auf sich ist tivialerweise wieder eine Abbildung der Ebene auf sich. Wir müssen nur zeigen dass $\alpha \circ \beta$ abstandserhaltend ist: $\begin{matrix} (1) & \vert PQ \vert = \vert \alpha(P) \alpha(Q) \vert & \alpha \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend} \\ (2) & \vert \alpha(P) \alpha(Q) \vert = \vert \beta(\alpha(P)) \beta(\alpha(Q)) \vert & \beta \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend} \\ (3) & \vert PQ \vert= \vert \beta(\alpha(P)) \beta(\alpha(Q)) \vert & (1), (2) \end{matrix}$ Assoziativität Die NAF von Abbildungen ist immer assoziativ. Einselement Wir betrachten die Abbildung $\operatorname{id}$, die jeden Punkt die Abbildung der ebene auf sich selbst abbildet: $\forall P \in \varepsilon: \operatorname{id}(P)=P$ Damit ist $\operatorname{id}$ eine Abbildung der Ebene auf sich. Wegen $\operatorname{id}(A)=A \land \operatorname{id}(B)= B, \forall A,B \in \varepsilon$ gilt natürlich auch $\vert AB\vert = \vert \operatorname{id}(A) \operatorname{id}(B)\vert$. $\operatorname{id}$ erfüllt die Eigenschaften eines Einselementes: $\forall P \in \varepsilon : \beta \circ \operatorname{id}(P)= \operatorname{id}(\beta(P))=\beta(P)$ und somit $\operatorname{id} \circ \beta = \beta$. inverse Elemente Es genügt zu zeigen, dass jede Bewegung $\beta$ eineindeutig ist, d.h. dass jeder Punkt $\R \in \varepsilon$ bei $\beta$ ein und nur ein Urbild $Q \in \varepsilon$ hat. Injektivität von $\beta$ Sei $P'$ das Bild von $P$ bei der Bewegung $\beta$. Wir haben zu zeigen, dass es keinen Punkt $Q \in \varepsilon, Q \not \equiv P$ gibt, der durch $\beta$ auch auf $P'$ abgebildet wird. Wir nahemen, an, dass es einen solchen Punkt $Q$ gibt. Dann gilt: $0=\vert P'P' \vert = \vert PQ \vert$ und damit $P \equiv Q$, was ein Widerspruch zur Annahme $P \not \equiv Q$ ist. Surjektivität von $\beta$ Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt $Q \in \varepsilon$ bei der Bewegung $\beta$ ein Urbild hat. Annahme: $Q$ hat kein Urbild bei $\beta$. Da jeder Punkt der Ebene $\varepsilon$ durch $\beta$ auf genau einen Punkt der Ebene $\varepsilon$ abgebildet wird und der Punkt $Q$ kein Urbild hat, müssen wenigstens zwei verschiedene Punkte $A$ und $B$ aus $\varepsilon$ durch $\beta$ auf ein und denselben Punkt $C$ abgebildet werden: $A \overset{\beta}{\rightarrow} C$ $B \overset{\beta}{\rightarrow} C$ Wegen $\vert CC \vert = 0 = \vert \beta(A) \beta(B) \vert$ müssen $A$ und $B$ ein und derselbe Punkt, also identisch sein. Das ist ein Widerspruch zu $A\not\equiv B$. Unsere Annahme $Q$ hat kein Urbild ist also zu verwerfen. Die Untergruppe der Drehungen um ein und denselben Punkt Drehungen Eine Bewegung die entweder die Identität ist oder genau einen Fixpunkt $Z$ besitzt, heißt Drehung. Falls die Bewegung genau den Fixpunkt $Z$ hat, sprechen wir von einer Drehung um $Z$. Die Gruppe der Drehungen um ein und denselben Fixpunkt Es sei $Z$ ein beliebiger aber fester Punkt der Ebene. Wir betrachten $\mathbb{D}_Z$ die Menge aller Drehungen um $Z$. Als Verknüpfung auf $\mathbb{D}_Z$ wählen wir die $\circ$, die NAF von Abbildungen. $[\mathbb{D}_Z, \circ ]$ ist eine Gruppe: Abgeschlossenheit Es seien $D_1$ und $D_2$ zwei Drehungen um $Z$. Wir haben bererits geszeigt, dass die NAF zweier Bewegungen eine Bewegung ist. Da $D_1$ und $D_2$ zwei Bewegungen sind, ist $D_3:= D_1 \circ D_2$ ebenfalls eine Bewegung. Weil $Z$ ein Fixpunkt sowohl von $D_1$ als auch von $D_2$ ist, muss $Z$ auch ein Fixpunkt von $D_3$ sein. Es können jetzt genau zwei Fälle auftreten: Fall 1 $Z$ ist der einzige Fixpunkt von $D_3$. In diesem Fall ist $D_3$ eine Drehung mit dem Fixpunkt $Z$. Fall 2 $D_3$ hat neben $Z$ einen weiteren Fixpunkt $F$. Das bedeutet: $\begin{matrix} \text{(I)} & Z &\overset{D_3}{\rightarrow} &Z \\ \text{(II)} &F &\overset{D_3}{\rightarrow} &F \end{matrix}$ Wegen der Abstandserhaltung von $D_3$ ist jeder Punkt $G$ der Geraden $ZF$ ist ein Fixpunkt bei $D_3$. (Der Leser überzeuge sich davon.) Die Gerade $ZF$ ist damit eine Fixpunktgerade bei $D_3$. Sei $P \not \in ZF$. Für das Bild $P'$ mit $P \overset{D_3}{\rightarrow} P'$ gibt es jetzt genau zwei Möglichkeiten: $\begin{matrix} \text{a)} & P' \in ZF,P^+ \\ \text{b)} & P' \in ZF,P^- \end{matrix}$ Im Fall a) ist wegen der Abstandserhaltung von $D_3 ~ P' \equiv P$, woras folgt, dass jeder Punkt der Ebene bei $D_3$ ein Fixpunkt ist. $D_3$ wäre damit die Identität und somit eine Drehung. Fall b) kann nicht eintreten. (Der Leser überzeuge sich davon.) Assoziativität Die NAF von Abbildungen (Funktionen) ist generell assoziativ. Einselement Die Identität leistet das Verlangte. Inverse Elemente Wir wissen bereist, dass jede Bewegung genau ein inverses Element besitzt. Es bleibt zu zeigen, dass die inverse Bewegung $D_Z^{-1}$ zu einer Bewegung $D_Z$ mit genau dem Fixpunkt $Z$ eine Bewegung mit genau dem Fixpunkt $Z$ ist. Zunächst ist $Z$ ein Fixpunkt von $D_Z^{-1}$: $D_Z^{-1}$ bildet jeden Punkt der Ebene auf sein Urbild bei $D_Z$ ab. Weil $Z$ das Bild von $Z$ bei $D_Z$ ist, ist $Z$ also auch ein Fixpunkt bei $D_Z^{-1}$ . Sollte $D_Z^{-1}$ enen weiteren von $Z$ verschiedenen Fixpunkt $F$ haben, wäre jener Punkt $F$ nach analogen Überlegungen auch ein Fixpunkt bei $D_Z$. $D_Z$ hat jedoch nur den einen Fixpunkt $Z$.