Ganze Zahlen mit der Multiplikation

Im Grunde ist die Überprüfung, ob es sich bei $[\Z,\sdot]$ um eine Gruppe handelt, mit dem Verweis auf die Natürliche Zahlen mit Multiplikation schon beinahe trivial.

Dennoch hier ein analog geführtes (Gegen)Beispiel:

(1) Abgeschlossenheit

Beispiel: $a=4, b=5, a \sdot b=4 \sdot 5=20 \in \Z$ passt.

(2) Assoziativität

Beispiel: $a=3, b=2, c=4, (a \sdot b)\sdot c=(3 \sdot 2) \sdot 4=6 \sdot 4=24=3 \sdot 8=3 \sdot (2 \sdot 4)=a \sdot (b \sdot c)$ passt.

(3) neutrales Element

Beispiel: $a=4, e=1, a \sdot e=4 \sdot 1=4, e \in \Z$ passt.

(4) inverses Element

Beispiel: $a=4, a$^-1$=(1/4), a \sdot a$^-1$=4 \sdot (1/4)=1=e, a$^-1$\notin \Z$ passt nicht!

Somit handelt es sich bei $[\Z,\sdot]$ nicht um eine Gruppe.