Untergruppen, Untergruppenkriterien

Beispiele, Gegenbeispiele Beispiel 1 Wir gehen von der additiven Gruppe der Restklassen modulo 6 aus $[\mathbb{Z}_6, \oplus]$. Die Gruppe besteht aus den folgenden Restklassen: $\mathbb{Z}_6=\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5} \}$ Die Gruppentafel sieht wie folgt aus: $\oplus$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{1}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{3}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{4}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{5}$ $\overline{5}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{3}$ $\overline{4}$ Wir wählen aus $\mathbb{Z}_6$ die folgende Teilmenge $2\mathbb{Z}_6$aus: $2\mathbb{Z}_6:=\{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\}$ $[2\mathbb{Z}_6, \oplus]$ ist eine Gruppe und damit eine Untergruppe von $[\mathbb{Z}_6, \oplus]$ $\oplus$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{0}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{2}$ $\overline{2}$ $\overline{4}$ $\overline{0}$ $\overline{4}$ $\overline{4}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ Beispiel 2 Die Gruppe der Bewegungen Die Gruppenmitglieder Unter einer Bewegung $\beta$ versteht man eine abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich: Es sei $\varepsilon$ unsere Ebene. $\beta$ ist Relation $\forall P \in \varepsilon \exist P' \in \varepsilon: P'=\beta(P)$ $\beta$ ist eindeutig und damit Abbildung $\forall P \in \varepsilon: P'=\beta(P) \land P^*=\beta(P) \Rightarrow P'=P^*$ $\beta$ ist abstandserhaltend $\forall P, Q \in \varepsilon: \vert PQ \vert = \vert \beta(P) \beta(Q)\vert$ Die Menge aller Bewegungen wollen wir mit $\Beta$ bezeichnen. Die Verknüpfung wir wählen als Verknüpfung auf $\Beta$ die NAF von Abbildungen und kennzeichnen diese mit $\circ$. $[\Beta, \circ]$ ist Gruppe Abgeschlossenheit Es seien $\alpha$ und $\beta$ zwei Bewegungen. Wir haben zu zeigen, dass $\alpha \circ \beta$ eine Bewegung ist. Da die NAF zweier Abbildungen der Ebene auf sich ist tivialerweise wieder eine Abbildung der Ebene auf sich. Wir müssen nur zeigen dass $\alpha \circ \beta$ abstandserhaltend ist: $\begin{matrix} (1) & \vert PQ \vert = \vert \alpha(P) \alpha(Q) \vert & \alpha \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend} \\ (2) & \vert \alpha(P) \alpha(Q) \vert = \vert \beta(\alpha(P)) \beta(\alpha(Q)) \vert & \beta \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend} \\ (3) & \vert PQ \vert= \vert \beta(\alpha(P)) \beta(\alpha(Q)) \vert & (1), (2) \end{matrix}$ Assoziativität Die NAF von Abbildungen ist immer assoziativ. Einselement Wir betrachten die Abbildung $\operatorname{id}$, die jeden Punkt die Abbildung der ebene auf sich selbst abbildet: $\forall P \in \varepsilon: \operatorname{id}(P)=P$ Damit ist $\operatorname{id}$ eine Abbildung der Ebene auf sich. Wegen $\operatorname{id}(A)=A \land \operatorname{id}(B)= B, \forall A,B \in \varepsilon$ gilt natürlich auch $\vert AB\vert = \vert \operatorname{id}(A) \operatorname{id}(B)\vert$. $\operatorname{id}$ erfüllt die Eigenschaften eines Einselementes: $\forall P \in \varepsilon : \beta \circ \operatorname{id}(P)= \operatorname{id}(\beta(P))=\beta(P)$ und somit $\operatorname{id} \circ \beta = \beta$. inverse Elemente Es genügt zu zeigen, dass jede Bewegung $\beta$ eineindeutig ist, d.h. dass jeder Punkt $\R \in \varepsilon$ bei $\beta$ ein und nur ein Urbild $Q \in \varepsilon$ hat. Injektivität von $\beta$ Sei $P'$ das Bild von $P$ bei der Bewegung $\beta$. Wir haben zu zeigen, dass es keinen Punkt $Q \in \varepsilon, Q \not \equiv P$ gibt, der durch $\beta$ auch auf $P'$ abgebildet wird. Wir nahemen, an, dass es einen solchen Punkt $Q$ gibt. Dann gilt: $0=\vert P'P' \vert = \vert PQ \vert$ und damit $P \equiv Q$, was ein Widerspruch zur Annahme $P \not \equiv Q$ ist. Surjektivität von $\beta$ Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt $Q \in \varepsilon$ bei der Bewegung $\beta$ ein Urbild hat. Annahme: $Q$ hat kein Urbild bei $\beta$. Da jeder Punkt der Ebene $\varepsilon$ durch $\beta$ auf genau einen Punkt der Ebene $\varepsilon$ abgebildet wird und der Punkt $Q$ kein Urbild hat, müssen wenigstens zwei verschiedene Punkte $A$ und $B$ aus $\varepsilon$ durch $\beta$ auf ein und denselben Punkt $C$ abgebildet werden: $A \overset{\beta}{\rightarrow} C$ $B \overset{\beta}{\rightarrow} C$ Wegen $\vert CC \vert = 0 = \vert \beta(A) \beta(B) \vert$ müssen $A$ und $B$ ein und derselbe Punkt, also identisch sein. Das ist ein Widerspruch zu $A\not\equiv B$. Unsere Annahme $Q$ hat kein Urbild ist also zu verwerfen. Die Untergruppe der Drehungen um ein und denselben Punkt Drehungen Eine Bewegung die entweder die Identität ist oder genau einen Fixpunkt $Z$ besitzt, heißt Drehung. Falls die Bewegung genau den Fixpunkt $Z$ hat, sprechen wir von einer Drehung um $Z$. Die Gruppe der Drehungen um ein und denselben Fixpunkt Es sei $Z$ ein beliebiger aber fester Punkt der Ebene. Wir betrachten $\mathbb{D}_Z$ die Menge aller Drehungen um $Z$. Als Verknüpfung auf $\mathbb{D}_Z$ wählen wir die $\circ$, die NAF von Abbildungen. $[\mathbb{D}_Z, \circ ]$ ist eine Gruppe: Abgeschlossenheit Es seien $D_1$ und $D_2$ zwei Drehungen um $Z$. Wir haben bererits geszeigt, dass die NAF zweier Bewegungen eine Bewegung ist. Da $D_1$ und $D_2$ zwei Bewegungen sind, ist $D_3:= D_1 \circ D_2$ ebenfalls eine Bewegung. Weil $Z$ ein Fixpunkt sowohl von $D_1$ als auch von $D_2$ ist, muss $Z$ auch ein Fixpunkt von $D_3$ sein. Es können jetzt genau zwei Fälle auftreten: Fall 1 $Z$ ist der einzige Fixpunkt von $D_3$. In diesem Fall ist $D_3$ eine Drehung mit dem Fixpunkt $Z$. Fall 2 $D_3$ hat neben $Z$ einen weiteren Fixpunkt $F$. Das bedeutet: $\begin{matrix} \text{(I)} & Z &\overset{D_3}{\rightarrow} &Z \\ \text{(II)} &F &\overset{D_3}{\rightarrow} &F \end{matrix}$ Wegen der Abstandserhaltung von $D_3$ ist jeder Punkt $G$ der Geraden $ZF$ ist ein Fixpunkt bei $D_3$. (Der Leser überzeuge sich davon.) Die Gerade $ZF$ ist damit eine Fixpunktgerade bei $D_3$. Sei $P \not \in ZF$. Für das Bild $P'$ mit $P \overset{D_3}{\rightarrow} P'$ gibt es jetzt genau zwei Möglichkeiten: $\begin{matrix} \text{a)} & P' \in ZF,P^+ \\ \text{b)} & P' \in ZF,P^- \end{matrix}$ Im Fall a) ist wegen der Abstandserhaltung von $D_3 ~ P' \equiv P$, woras folgt, dass jeder Punkt der Ebene bei $D_3$ ein Fixpunkt ist. $D_3$ wäre damit die Identität und somit eine Drehung. Fall b) kann nicht eintreten. (Der Leser überzeuge sich davon.) Assoziativität Die NAF von Abbildungen (Funktionen) ist generell assoziativ. Einselement Die Identität leistet das Verlangte. Inverse Elemente Wir wissen bereist, dass jede Bewegung genau ein inverses Element besitzt. Es bleibt zu zeigen, dass die inverse Bewegung $D_Z^{-1}$ zu einer Bewegung $D_Z$ mit genau dem Fixpunkt $Z$ eine Bewegung mit genau dem Fixpunkt $Z$ ist. Zunächst ist $Z$ ein Fixpunkt von $D_Z^{-1}$: $D_Z^{-1}$ bildet jeden Punkt der Ebene auf sein Urbild bei $D_Z$ ab. Weil $Z$ das Bild von $Z$ bei $D_Z$ ist, ist $Z$ also auch ein Fixpunkt bei $D_Z^{-1}$ . Sollte $D_Z^{-1}$ enen weiteren von $Z$ verschiedenen Fixpunkt $F$ haben, wäre jener Punkt $F$ nach analogen Überlegungen auch ein Fixpunkt bei $D_Z$. $D_Z$ hat jedoch nur den einen Fixpunkt $Z$. Fazit Die Drehungen um ein und denselben Punkt $Z$ bilden bzgl. der NAF von Abbildungen eine Gruppe und sind damit eine Untergruppe der Gruppe aller Bewegungen. Weitere Beispiele und Gegenbeispiele bzgl. der Gruppe der Bewegungen Spiegelungen Eine Geradenspiegelung ist eine Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden. gleichsinnige Bewegungen Alle Bewegungen, die sich als NAF zweier Geradenspiegelungen schreiben lassen bilden bzgl. der NAF eine Untergruppe aller Bewegungen. Gegenbeispiel Die Menge aller Spiegelungen bildet bzgl. der NAF keine Untergruppe der Gruppe der Bewegungen. Gegenbeispiel 1 Wir betrachten $[\mathbb{Z}_7, \oplus ]$ und $[\mathbb{Z}_7, \otimes ]$. Da wir bei multiplikativen Restgruppen das neutrale Element bezüglich der Restklassenaddition nicht berücksichtigen ist die Menge der multiplikativen Restklassengruppe modulo $7$ eine echte Teilmenge der additiven Restklassengruppe modulo $7$. In beiden Fällen handelt es sich um Gruppen, $[\mathbb{Z}_7, \otimes ]$ ist jedoch keine Untergruppe von $[\mathbb{Z}_7, \oplus ]$. Gegenbeispiel 2 $[\mathbb{Z}_4, \oplus ]$ ist bekannterweise eine Gruppe. $[T, \oplus]$ mit $T:=\{\overline{1}, \overline{2}, \overline{0}\}$ ist keine Untergruppe von $[\mathbb{Z}_4, \oplus ]$, weil $[T, \oplus]$ keine Gruppe ist. Definition des Begriffs Untergruppe Definition: (Untergruppe) Es sei $[G, \circ]$ eine Gruppe und $U$ eine Teilmenge von $G$. $[U, \circ ]$ ist Untergruppe von $[G, \circ]$, wenn $[U, \circ]$ selbst Gruppe ist. Satz: (triviale Untergruppen) Jede Gruppe hat wenigstens zwei Untergruppen: Sich selbst und die Untergruppe die nur aus dem Einselement der Gruppe besteht. Untergruppenkriterium 1 Satz: (Untergruppenkriterium 1) Es sei $[G, \circ]$ eine Gruppe und $U \subseteq G$. $[U, \circ]$ ist genau dann Untergruppe von $[G, \circ]$, wenn: $\begin{matrix} \text{(I)} & \forall a,b \in &U & : & a \circ b &\in U \\ \text{(II)} & \forall a \in &U & : & a^{-1} &\in U \end{matrix}$ Untergruppenkriterium 2 Satz (Untergruppenkriterium 2) Es sei $[G, \circ]$ eine Gruppe und $U \subseteq G. ~$ $~[U, \circ]$ ist genau dann Untergruppe von $[G, \circ]$, wenn: $\forall a,b \in U  : a \circ b^{-1}\in U$ Beweis von UGK 2 Wenn UGK1 bewiesen wurde (was keine Schwierigkeit darstellt) reicht es zu zeigen, dass $\text{UGK1} \Leftrightarrow \text{UGK2}$ gilt. $\rightarrow$ trivial $\leftarrow$ Es sei $[G, \circ]$ eine Gruppe mit Einselement $e$. $U \subseteq G$. Voraussetzung $\text{(*)}~\forall a, b \in U: a\circ b^{-1}\in U$. Behauptungen $\begin{matrix} \text{(I)} & \forall a, b \in U: & a \circ b \in U \\ \text{(II)} & \forall b \in U: & b^{-1} \in U \end{matrix}$ Beweis Zeigen, dass $e \in U$ $\text{(*)}$ sagt aus, dass mit $a$ und $b$ aus der Teilmenge $U$ auch das Produkt $a \circ b^{-1}$ ein Element von $U$ ist. Setzen $b=a$, womit nach $\text{(*)}~ a\circ a^{-1} \in U$ gilt. Wegen $a \circ a^{-1} =e$ ist das Einselement $e$ ein Element der Teilmenge $U$. Zeigen, dass mit $b$ auch $b^{-1}$ zu $U$ gehört Wegen $e \in U$ (gerade gezeigt) und $b \in U$ (Voraussetzung) gilt nach $\text{(*)}$ $e \circ b^{-1} = b^{-1} \in U$. $\text{(II)}$ ist damit bewiesen. Zeigen, dass die Verknüpfung $\circ$ abgeschlossen auf $U$ ist Wir haben gerade gezeigt, dass mit $b \in U$ auch $b^{-1} \in U$ gilt. Mit $a \in U$ und $b^{-1} \in U$ gilt nach $\text{(*)}$ $a \circ \left ( b^{-1} \right ) ^{-1} \in U$. Nach einem Hilfssatz aus der Vorlesung gilt: $\left ( b^{-1} \right ) ^{-1} = b$ und damit $a \circ b \in U$, womit $\text{(I)}$ bewiesen wurde.