Gebrochene Zahlen mit der Addition

Wir überprüfen ob $[\Q^{+},+]$ eine Gruppe ist:

Abgeschlossenheit

$\frac{a}{b} ,\frac{c}{d} \isin \Q^{+} ; a,b,c,d \isin \Z^{+} ; b,d \neq 0$

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \sdot d}{b \sdot d} + \frac{c \sdot b}{d \sdot b} = \frac{ad+cb}{bd} \isin \Q^{+}$
Passt.

Assoziativität

$\frac{a}{b} ,\frac{c}{d} ,\frac{e}{f} \isin \Q^{+};a,b,c,d,e,f \isin \Z^{+};b,d,f \neq 0$

$\frac{a}{b}+(\frac{c}{d}+\frac{e}{f})=(\frac{a}{b}+\frac{c}{d})+\frac{e}{f}$

$\frac{a}{b}+(\frac{cf}{df}+\frac{ed}{fd})=(\frac{ad}{bd}+\frac{cb}{db})+\frac{e}{f}$

$\frac{a}{b}+\frac{cf+ed}{df}=\frac{ad+cb}{bd}+\frac{e}{f}$

$\frac{adf}{bdf}+\frac{bcf+bde}{bdf}=\frac{adf+bcf}{bdf}+\frac{bde}{bdf}$

$\frac{adf+bcf+bde}{bdf}=\frac{adf+bcf+bde}{bdf}$
Passt.

neutrales Element

$\frac{a}{b} \isin \Q^{+} ; a,b \isin \Z^{+} ; b \neq 0$

$\frac{a}{b} + n = \frac{a}{b}$

$n=0\isin\Z^{+}\isin\Q^{+}$
Passt.

inverses Element

$q:=\frac{a}{b}; q \isin \Q^{+}; a,b \isin \Z^{+}; b \neq 0$

$q+q^{-1}=n=0$

$q^{-1}=\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}\notin \Q^{+};-a,-b \notin \Z^{+}$
Passt nicht!

Resultat

Somit handelt es sich bei $[\Q^{+},+]$ nicht um eine Gruppe.