Lösung von Aufgabe 13.5

Man beweise: Ein Punkt $\ P$ gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels $\ \alpha$ , wenn er zu den Schenkeln von $\ \alpha$ jeweils denselben Abstand hat.

Versuch 1

Da es sich bei diesem Satz um eine Äquivalenzrelation handelt ("genau dann") muss die "Hin- und Rückrichtung" bewiesen werden.

1. Hinrichtung: "Wenn ein Punkt P zu den Schenkeln von $\alpha$ jeweils denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierenden des Winkels $\alpha$ ."

VSS: $\overline{PB} \cong \overline{PA}$ , $\alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq$
Beh: $P \in$ Winkelhalbierende von $\alpha$

Beweis
Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$A$ sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl $p$ und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl $q$	(Existenz und Eindeutigkeit Lot)
(II)	$\overline{PB} \cong \overline{PA}$	(VSS)
(III)	$\overline{SP} \cong \overline{SP}$	(trivial)
(IV)	$\|\angle SBP\| = \|\angle SAP\| = 90$	(Definition Lot)
(V)	$\angle SAP$ ist größter Winkel im Dreieck $\overline{SAP}$	(Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV)
(VI)	$\angle SBP$ ist größter Winkel im Dreieck $\overline{SBP}$	(Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV)
(VII)	$\angle SBP$ liegt der Seite $\overline{SP}$ gegenüber $\angle SAP$ liegt der Seite $\overline{SP}$ gegenüber	(Satz: größter Winkel liegt längsten Seite gegenüber),(V), (VI)
(VIII)	$\overline{SBP} \cong \overline{SAP}$	(SSW), (VII), (IV), (III), (II)
(IX)	$\angle ASP \cong \angle BSP$	(VIII), (Def. Dreieckskongruenz)
(X)	$\| \angle ASP\| + \angle BSP\|= \angle ASB\|$	(IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom)
(XI)	${SP^{+}} \cong$ Winkelhalbierenden von $\alpha$ --> $P \in$ Winkelhalbierende von $\alpha$	(X)

--> Beh. wahr qed

2. Rückrichtung: "Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels $\alpha$ gehört, dann hat er zu den Schenkeln von $\alpha$ jeweils denselben Abstand."

VSS: $P \in$ Winkelhalbierende von $\alpha$ $\alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq$
Beh: $\overline{PB} \cong \overline{PA}$

Beweis
Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$P \in$ Winkelhalbierende von $\alpha$	(VSS)
(II)	$A$ sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl $p$ und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl $q$	(Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)
(III)	$\|\angle SBP\| = \|\angle SAP\| = 90$	(II), (Def. Lot)
(IV)	$\|\angle ASP\| = \|\angle BSP\|$	(Def. Winkelhalbierende)
(V)	$\| \angle ASP\| + \| \angle SPA\| + \| \angle SAP\| = 180$	(Innenwinkelsumme im Dreieck)
(VI)	$\| \angle BSP\| + \| \angle SPB\| + \| \angle SBP\| = 180$	(Innenwinkelsumme im Dreieck)
(VII)	$\| \angle ASP\| + \| \angle SPA\| + \| \angle SAP\| = \| \angle BSP\| + \| \angle SPB\| + \| \angle SBP\|$	(V), (VI), (rechnen mit reellen Zahlen)
(VIII)	$\| \angle SPA\| + \| \angle SAP\| = \| \angle SPB\| + \| \angle SBP\|$	(VII), (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)
(IX)	$\| \angle SPA\| = \| \angle SPB\|$	(IX), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
(X)	$\overline{SP} \cong \overline{SP}$	(trivial)
(XI)	$\overline{SBP} \cong \overline{SAP}$	(WSW), (X), (IX), (IV)
(XII)	$\overline{PA} \cong \overline{PB}$	(XI), (Def. Dreieckskongruenz)