19)

m sei Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$. Beweisen Sie durch Kontraposition: $\left| AP \right| =\left| BP \right|\Rightarrow P\in m$
Tipp: Nutzen Sie den Satz von Pasch und die Dreiecksungleichung.
Hinweis: Die Umkehrung des hier zu beweisenden Satzes sei bereits bewiesen.

Vor.: P ε m Beh: => |AP|≠|PB|
1.) Pε m => entweder P ε mA⁺ oder P ε mA^-. - Vor
2.) m geschnitten $\overline{AB}$ ≠ {} => entweder m geschnitten $\overline{AP}$ ≠ {} oder m geschnitten $\overline{PB}$ ≠ {}. - 1.), Satz von Pasch
3.) Für P ε mA⁺ (und m geschnitten $\overline{PB}$ ≠ {})
m geschnitten $\overline{PB}$ = {S}. - 2.), Anmerkung 3.)
4.) Für das Dreieck $\overline{ASP}$ gilt |AP| < |AS| + |SP|. - Dreiecksungleichung
5.) S_m(A) = B => |AS| = |BS|. - Streckentreue, Längenerhaltung
6.) |PB| = |PS| + |SB|. - 3.), 5.)
7.) |PB| = |PS| + |AS|. - 5.), 6.)
8.) ( |AP| < |AS| + |SP| ) = ( |AP| < |PB| ). - 4.), 7.)
=> |AP| ≠ |PB|. Die Behauptung und somit auch das logische Äquivalent stimmt.
--CIG UA (Diskussion) 13:52, 14. Dez. 2018 (CET)