Lösung von Aufgabe 9.5P (WS 18/19)

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m sei Mittelsenkrechte der Strecke \overline{AB}. Beweisen Sie durch Kontraposition: \left| AP \right| =\left| BP \right|\Rightarrow  P\in m
Tipp: Nutzen Sie den Satz von Pasch und die Dreiecksungleichung.
Hinweis: Die Umkehrung des hier zu beweisenden Satzes sei bereits bewiesen.

Vor.: P ε m Beh: => |AP|≠|PB|
1.) Pε m => entweder P ε mA+ oder P ε mA-. - Vor
2.) m geschnitten \overline{AB} ≠ {} => entweder m geschnitten \overline{AP} ≠ {} oder m geschnitten \overline{PB} ≠ {}. - 1.), Satz von Pasch
3.) Für P ε mA+ (und m geschnitten \overline{PB} ≠ {})
m geschnitten \overline{PB} = {S}. - 2.), Anmerkung 3.)
4.) Für das Dreieck \overline{ASP} gilt |AP| < |AS| + |SP|. - Dreiecksungleichung
5.) Sm(A) = B => |AS| = |BS|. - Streckentreue, Längenerhaltung
6.) |PB| = |PS| + |SB|. - 3.), 5.)
7.) |PB| = |PS| + |AS|. - 5.), 6.)
8.) ( |AP| < |AS| + |SP| ) = ( |AP| < |PB| ). - 4.), 7.)
=> |AP| ≠ |PB|. Die Behauptung und somit auch das logische Äquivalent stimmt.
--CIG UA (Diskussion) 13:52, 14. Dez. 2018 (CET)