Lösung von Aufgabe 12.4

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt $\ P$ auf eine Gerade $\ g$.

Existenz

Voraussetzung: Gerade $\ g$, Punkt $\ P \notin g$
Behauptung: Es existiert ein Lot $\ l$von $\ P$ auf $\ g$ mit Lotfußpunkt $\ L$
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf $\ g$, die durch $\ P$ geht.

Eindeutigkeit

Voraussetzung: Gerade $\ g$, Punkt $\ P \notin g$, Lot $\ l$von $\ P$ auf $\ g$ mit Lotfußpunkt $\ L$
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von $\ P$ auf $\ g$.
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von $\ P$ auf $\ g$.
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt $\ L'$

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein Dreieck $\overline {PLL'}$	VSS, Punkte $\ L L' P$ sind nicht kollinear, da $\ L \in g \and L' \in g \and P \notin g$ laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
(II)	$|\angle LL'P| = 90$	Annahme, $\ L'$ ist Lotfußpunkt
(III)	$|\angle PLL'| = 90$	VSS, $\ L$ ist Lotfußpunkt
(IV)	Außenwinkel von $|\angle LL'P| = 90$	Supplementaxiom
(V)	$|\angle PLL'| <$ Außenwinkel von $|\angle LL'P|$ $|\angle PLL'| < 90$	Schwacher Außenwinkelsatz
(VI)	Annahme muss verworfen werden	Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!

--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)