Lösung von Aufgabe 12.4
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Version vom 20. Juli 2010, 12:28 Uhr von Heinzvaneugen (Diskussion | Beiträge)
Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade
.
Existenz
Voraussetzung: Gerade , Punkt
Behauptung: Es existiert ein Lot von
auf
mit Lotfußpunkt
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf , die durch
geht.
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert ein Punkt ![]() ![]() |
Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal) |
(II) | Am Scheitelpunkt ![]() ![]() ![]() ![]() |
Winkelkonstruktionsaxiom |
(III) | IN ARBEIT: Strecke AP auf neuer Geraden antragen | |
(IV) | IN ARBEIT: Gerade PP' schneidet g in L | |
(V) | IN ARBEIT: zwei kongruente Dreiecke - SWS | |
(VI) | IN ARBEIT: Winkel an L sind Nebenwinkel und kongruent --> rechte Winkel | |
(VII) | IN ARBEIT: Gerade PL steht senkrecht auf g --> PL ist Lotgerade, Strecke PL ist Lot(strecke) |
Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel bezüglich
in der selben Halbebene liegt. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.
Eindeutigkeit
Voraussetzung: Gerade , Punkt
, Lot
von
auf
mit Lotfußpunkt
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von auf
.
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von auf
.
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Es existiert ein Dreieck ![]() |
VSS, Punkte ![]() ![]() |
(II) | ![]() |
Annahme, ![]() |
(III) | ![]() |
VSS, ![]() |
(IV) | Außenwinkel von ![]() |
Supplementaxiom |
(V) | ![]() ![]()
|
Schwacher Außenwinkelsatz |
(VI) | Annahme muss verworfen werden | Widerspruch zwischen (V) und (III) !!! |
--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)