Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks

Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber)

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
$\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|$

Beweis von Satz IX.2

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.

Voraussetzung:
$\left| AC \right| > \left| BC \right|$ bzw. $\left| a\right| > \left| b \right|$

Nach dem Dreieck müsste es doch heißen: $|BC| > |AC| \$ --Heinzvaneugen 18:12, 20. Jul. 2010 (UTC)

Auf $\overline{BC}$ gibt es jetzt genau einen Punkt $\ B'$ mit $\left| CB' \right| > \left| b\right|$.

Denke ich falsch, oder soll es heißen $\left| CB' \right| = \left| b\right|$??? --Maude001 11:25, 17. Jul. 2010 (UTC)
Ich würde auch sagen, dass da ein "=" hinmuss.--Löwenzahn 11:43, 17. Jul. 2010 (UTC)

Begründung der Konstruktion von $\ B'$ :

... Nach Voraussetzung $\left| a\right| > \left| b \right|$ und dem Axiom vom Lineal. --Maude001 11:29, 17. Jul. 2010 (UTC)

Wie geht es weiter?

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(i)	$b \cong \overline{B'C}$	nach Konstruktion---mogli- 15:45, 17. Jul. 2010 (UTC)
(ii)	$\delta_1 \cong \delta_2$	nach Basiswinkelsatz---mogli- 15:45, 17. Jul. 2010 (UTC)
(iii)	$\left| \alpha \right| > \left| \delta_1 \right|$	da $B' \in$ (der offenen Strecke) $\overline{BC}$, liegt $\ B'$ im Inneren von $\ \alpha$, nach "Geschichten aus dem Inneren" --Löwenzahn 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
(iv)	$\left| \alpha \right| > \left| \delta_2 \right|$	(ii), (iii) --Löwenzahn 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
(v)	$\left| \delta_2 \right| > \left| \beta \right|$	schwacher Außenwinkelsatz --Löwenzahn 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
(vi)	$\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|$	(iv), (v) --Löwenzahn 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)

Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber)

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
$\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right|$

Beweis von Satz IX.3

Lösung von Aufgabe 13.1

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.

Voraussetzung:

$\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|$

Behauptung:

$\left| a \right| > \left| b \right|$

Annahme: $\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|$

$\left| a \right| \le \left| b \right|$

Es ergeben sich sofort zwei Widersprüche. Welche?

1.) Wenn a = b, dann ist $\left| \alpha \right| = \left| \beta \right|$

2.) Wenn a < b, dann ist $\left| \alpha \right| < \left| \beta \right|$ ---mogli- 15:44, 17. Jul. 2010 (UTC)

korrekt

Sie müssen allerdings noch begründen, warum sich diese Widersprüche ergeben. Für die Führung eines indirekten Beweises isr es ferner wichtig, aufzuzeigen, wozu sich der Widerspruch ergibt. --*m.g.* 06:38, 19. Jul. 2010 (UTC)

Begründung:
Voraussetzung: $\ |\alpha| > |\beta|$
Annahme:$|a| \le \ |b|$
Aus "$\ \le$" lassen sich zwei Fälle ableiten:

1. ) $|a| = \ |b|$, dann gilt allerdings $\left| \alpha \right| = \left| \beta \right|$, da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, bei dem bekanntlich die Basiswinkel kongruent sind --> Widerspruch zur VSS!
2. ) $|a| < \ |b|$, das ist allerdings der Fall, wenn $\ |\alpha| < |\beta|$, siehe Beweis "Satz IX.2" --> Widerspruch zu VSS! (Oder muss an dieser Stelle der Beweis der Umkehrung geführt werden?)