Lösung von Aufgabe 13.1

Beweisen Sie den Satz: Wenn ein Innenwinkel eines Dreiecks größer ist als ein anderer Innenwinkel dieses Dreiecks ist, dann ist die Seite, die ihm gegenüber liegt, größer als die Seite, die dem kleineren Winkel gegenüber liegt.

Satz IX.3

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
$\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right|$

Beweis von Satz IX.3

Fallunterscheidung:
Voraussetzung: $\ |\alpha| > |\beta|$
Behauptung: $\ |a| > |b|$
Annahme:$|a| \le \ |b|$
Aus "$\ \le$" lassen sich zwei Fälle ableiten:

1. ) $|a| = \ |b|$, dann gilt allerdings $\left| \alpha \right| = \left| \beta \right|$, da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, bei dem bekanntlich die Basiswinkel kongruent sind --> Widerspruch zur VSS!
2. ) $|a| < \ |b|$, das ist allerdings der Fall, wenn $\ |\alpha| < |\beta|$ (zu beweisen, analog zu Satz IX.2)

Beweis (Fall 2):
Voraussetzung: $\ |\alpha| > |\beta|$
Behauptung: $\ |a| > |b|$
Annahme:$|a| < \ |b|$
Annahme:$|BC| < \ |AC|$

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Am Scheitelpunkt $\ A$ wird der Winkel $\ \beta$ derart abgetragen, dass $\ AB^+$ den einen Strahl des Winkels darstellt und der andere Strahl $\ AD^+$ in der Halbebene $\ AB,C^+$ liegt	Winkelkonstruktionsaxiom
(II)	Der Strahl $\ AD^+$ schneidet die Seite $\ a$ in einem Punkt $\ C'$. $C' \in \ AD^+ \land C' \in \overline {BC}$	Axiom von Pasch (geht das? oder reicht der Verweis auf die "Geschichten aus dem Inneren") oder Umkehrung Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom), da der Winkel $\ \angle BAC$ sich aus $\ \angle BAC'$ und $\ \angle C'AC$ zusammensetzt.
(III)	Die Länge der Strecke $\ \overline {BC'}$ ist kleiner als die Länge der Strecke $\ \overline {BC}$	Es gilt $\operatorname{Zw} \left(A, C', C \right) \rightarrow |BC'| + |C'C| = |BC|$
(IV)	Wenn Voraussetzung: $\ |\alpha| > |\beta|$ ist die Stercke $|BC'| < |BC| \$.	(III) $\rightarrow$ Wenn $\ |\alpha|$ kleiner wird, verkleinert sich auch die gegenüberliegende Seite

Annahme muss verworfen werden.

Kommentar: Noch nie war ich mir bei einer Beweisführung so unsichre. Please comment! Geht das so? Darf ich aus (IV) das schließen? --Heinzvaneugen 14:41, 21. Jul. 2010 (UTC)