Lösung von Aufgabe 12.3

Aufgabenstellung

Beweisen Sie:
Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz

Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

Lösung 1

Die Beweisführung ist natürlich sehr ähnlich zu Aufgabe 12.2.
Der Einfachheit halber werden die Winkel mit $\alpha \ \beta \ \gamma$ bezeichnet, die jeweiligen Außenwinkel sind dann $\alpha' \ \beta' \ \gamma'$.
Voraussetzung: Dreieck $\overline{ABC}$
Behauptung; Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.
Indirekter Beweis. Annahme: Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks kann 180 oder mehr betragen.

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es gilt: $|\alpha| \ < |\beta'|$ und $|\gamma| \ < |\beta'|$	schwacher Außenwinkelsatz
(II)	$|\beta| \ + |\beta'| = 180$	Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel sind supplementär.
(III)	$\ |\beta'| = 180 - |\beta|$	(II), Algebraische Umformung
(IV)	$|\alpha| \ < 180 - |\beta|$ und $|\gamma| \ < 180 - |\beta|$	(I), (III)
(V)	$|\alpha| + |\beta|\ < 180$ und $|\gamma| + |\beta| \ < 180$	(IV), Algebraische Umformung
(VI)	Es gilt: $|\beta| \ < |\alpha'|$ und $|\gamma| \ < |\alpha'|$	schwacher Außenwinkelsatz
(VII)	$|\alpha| + |\gamma|\ < 180$ und $|\beta| + |\gamma| \ < 180$	Beweis zusammengefasst, analog zu Schritte (I) bis (V)

Aus (V) und (VII) folgt, dass die Annahme verworfen werden muss.

--Heinzvaneugen 01:55, 12. Jul. 2010 (UTC)
== Lösung 2 ==
Sei ABC ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Laut dem schwachen Außenwinkelsatz gilt, dass $|\alpha| \ < |\beta'|$.
Zudem gilt wegen Nebenwinkelaxiom und nach Umformung: $\ |\beta'| = 180 - |\beta|$ Nun gilt: $|\alpha| \ < 180 - |\beta|$ Nach Umformung erhält man: $|\alpha| + |\beta|\ < 180$.