Geradenspiegelungen

Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei einer Spiegelung an der Geraden $\ g$

Übungsaufgabe

Es sei $\ P$ ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden $\ g$ dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von $\ P$ bei der Spiegelung an $\ g$. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

Konstruktion des Bildes eines Punktes $\ P$ bei der Spiegelung aneiner Geraden $\ g$
$(P \notin g)$

Nr.	Beschreibung des Schrittes	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	Wir fällen das Lot von $\ P$ auf $\ g$. Den Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden $\ g$ bezeichnen wir mit $\ L$	So bestimmen wir den kürzesten Abstand zwischen dem Punkt $\ P$ und der Geraden $\ g$
2.	Nun tragen wir die Strecke $\overline{PL}$ auf der Halbgeraden $\ LP^-$ ab	Durch das Abtragen der Strecke bekommen wir auf beiden Seiten derHalbgeraden den gleichen Abstand vond er Geraden $\ g$
3.	Den entstandenen Punkt bezeichnen wir mit $\ P'$	$\ P'$ ist der Bildpunkt von P bei der Geradenspiegelung an $\ g$. Das wird dadurch ersichtlich, dass $\ P$ und $\ P'$ den gleichen Abstand zu $\ g$ haben und $\ g$ somit Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{PP'}$ ist.

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden $\ g$)

Es sei $\ g$ eine Gerade. Unter der Geradenspiegelung $\ S_g$ versteht man eine ....

Es sei $\ g$ eine Gerade und P ein Punkkt der Ebene. Unter der Geradenspiegelung $\ S_g$ versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich:

(1) Für den Fall dass P $\in$ $\ g$: P = P'

(2) Für den fall dass P $\notin$ $\ g$: Die Gerade $\ g$ ist Mittelsenkrechte der Strecke zwischen dem Punkt P und seinem Bildpunkt P'

Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung

Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)

Jede Geradenspiegelung $\ S_g$ ist eine abstandserhaltende Abbildung.