Diskussion:Lösung von Aufgabe 6

zu 2.
Ich hab unter Schritt (2) vorausgesetzt, dass $\operatorname{nkoll}(A,C,D)$. Ich hab das einfach gemacht, weil ich das Gefühl hatte, dass ich gar nicht weiterkomme bzw. der ganze Beweis keinen Sinn macht, wenn ich nicht das wenigstens voraussetze. Aber ist das überhaupt legitim? --Sternchen 11:13, 21. Mai 2010 (UTC)

Ja, in der Tat müssten Sie beweisen, dass ihre Annahme in Schritt 2 korrekt ist. Prima, dass Sie dies erkannt haben! Versuchen Sie den Beweis, er ist nicht schwer!--Schnirch 16:05, 30. Mai 2010 (UTC)

Es gibt zwei Möglichkeiten, mit dem Problem umzugehen:

Variante 1: man beweist, dass unter der Voraussetzung $\operatorname{nKomp} \left( A, B, C, D) \right)$ je drei der Punkte $\ A, B, C, D$ nicht kollinear sind. Oder man macht

Variante 2: eine Fallunterscheidung

Fall 1: So wie bereits dargestellt : (2.1) $\operatorname{nkoll}(A,C,D)$

Fall 2: (2.2) $\operatorname{koll}(A,C,D)$

Im Fall 2 könnte folgendes passieren:

Fall 2.1 : Die drei Punkte $\ A, C, D$ sind paarweise verschieden

Fall 2.2 : Genau zwei der drei Punkte $\ A, C, D$ sind identisch. (o.B.d.A. $A \equiv D$),

Fall 2.3 : Alle drei Punkte $\ A, C, D$ sind identisch.

In jedem der drei Fälle hilft Axiom I/7: Es liefert nämlich

Fälle 2.1 und 2.2: einen weiteren Punkt $\ E$ mit $\operatorname{nkoll}(A,C,E)$, danach geht es weiter wie in Fall 1, $\ E$ übernimmt die Rolle von $\ D$

Fall 2.3 : zwei Punkte $E_1$ und $E_2$ mit $\operatorname{nkoll}\left( A,E_1,E_2 \right)$, danach geht es weiter wie in Fall 1,
$\ E_1$ übernimmt die Rolle von $\ C$ und $\ E_2$ die von $\ D$.--*m.g.* 09:34, 2. Jun. 2010 (UTC)

Mir ist einiges klar geworden. Mein Schritt 2 folgt also aus Schritt 1, das ist schonmal prima. Und die Tatsache leuchtet mir jetzt auch ein, aber wie beweisen? Da bin ich noch am Überlegen.

Zu Ihrer Variante 2, *m.g.*: Es gibt ja immer noch einen anderen Punkt, für den die Komplanarität nicht gilt, soweit hab ich's verstanden. Aber wenn ichs nicht besser wüsste, müsste ich ja wieder annehmen, dass der wiederum trotzdem kollinear mit $\ A$ und $\ C$ sein könnte. Oder was bringt mir die Fallunterscheidung sonst noch? Ich hab's noch nicht ganz begriffen.--Sternchen 17:20, 3. Jun. 2010 (UTC)

Versuch eines Beweises, dass gilt: $\operatorname{koll}(A,B,C) \Rightarrow \operatorname{komp}(A,B,C,D)$
Das ist ja die Kontraposition zu der Aussage: Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, dann sind je drei davon nicht kollinear.
1.Fall: $\operatorname{koll}(A,B,C,D)$

Schritt	Begründung
1)$\operatorname{koll}(A,B,C,D)$	Voraussetzung
2)Es gibt genau eine Gerade $\ g$ mit $A,B,C,D \in g$	(1)
3)Es gibt eine Ebene $\ E$ mit $A,B \in E$	Satz I/7
4)$A,B \in g \land A,B, \in E$	(2),(3)
5)$\operatorname{komp}(A,B,C,D)$	(4), Axiom I/5

2.Fall: $\operatorname{nkoll}(A,B,C,D)$

Schritt	Begründung
1)$\operatorname{koll}(A,B,C)$	Voraussetzung, Punktauswahl o.B.d.A.
2)$\operatorname{nkoll}(A,B,D)$	Voraussetzung, Punktauswahl o.B.d.A. (1)
3)Es gibt genau eine Ebene $\ E$ mit $A,B,D \in E$	(2), Axiom I/4
4)$C \in E$	(1),(3), Axiom I/5
5)$(A,B,C,D) \in E$	(3),(4)
6)$\operatorname{komp}(A,B,C,D)$	(5)

--Sternchen 20:27, 3. Jun. 2010 (UTC)

Zu Fall 2: (1) ist ein Widerspruch zu (2), denn beides ist o.B.d.A. D.h. es muss für A,B,C und D stimmen und je drei dieser vier Punkte können nicht gleichzeitig kollinear und nichtkollinear sein. --Principella 21:20, 8. Jun. 2010 (UTC)

Du hast recht, Principella, das ist anscheinend nicht so sauber. Versteht man, was ich gemeint habe? Alle vier Punkte zusammengenommen sind nicht kollinear. Irgendwelche drei davon sollen jetzt aber als Voraussetzung kollinear sein. Ich habe mich für $A, B, C$ entschieden, aber es könnten auch andere drei sein. Wenn wir aber jetzt von diesen drei ausgehen, dann sind gilt jedenfalls $\operatorname{nkoll}(A,B,D)$. Denn sonst wären sie alle vier kollinear. Ich hab dann nochmal "o.B.d.A." hingeschrieben, weil es ja bei (1) genausogut auch $A, B, D$ hätten sein können, aber das war dann wohl nicht so gut.

--Sternchen 13:37, 10. Jun. 2010 (UTC)

Also mein Beweis verläuft wie der von Sternchen, doch meine Annahme ist eine andere: Fall 1 nkoll (A,C,D) und bei Punkt (2) nkoll(A,C,D) nach Annahme. Ich verstehe nicht warum du nkoll (A,B,C,D) annimmst. Wo liegt der Unterschied. Denkfehler meinerseits?

$\operatorname{nkoll}(A,B,C,D)$ heißt ja nicht, dass sie tripelweise nichtkollinear sind, also dass keine drei davon auf einer Geraden liegen. Nein, es heißt nur, dass sie nicht alle vier auf einer Geraden liegen. $\operatorname{koll}(A,B,C)$ Ist ja onehin vorausgesetzt. Damit ist $\operatorname{nkoll}(A,B,C,D)$ äquivalent zu $\operatorname{nkoll}(A,C,D)$. War das vielleicht dein Problem?

--Sternchen 09:05, 1. Jul. 2010 (UTC)