Lösung von Aufgabe 6

Satz II: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden.

Formulieren Sie Teilaufgaben, die zu den Teilaufgaben a) bis f) von Aufgabe 4 analog sind und lösen Sie dann diese Teilaufgaben.

Lösung:

1. Satz II mit "wenn, dann" formulieren
2. Satz II indirekt beweisen
3. Kontraposition zu Satz II formulieren
4. Kontraposition zu Satz II beweisen
5. Umkehrung von Satz II formulieren
6. Gilt die Umkehrung von Satz II?

zu 1.
Es seien $A$, $B$, $C$ und $D$ vier Punkte. Wenn $A$, $B$, $C$ und $D$ nicht komplanar sind, dann sind sie paarweise verschieden.

zu 2.
Voraussetzung: Es seien $A$, $B$, $C$ und $D$ vier Punkte mit $\operatorname{nkomp}(A,B,C,D)$.
Annahme: $A \equiv B$

Schritt	Begründung
1) $\operatorname{nkomp}(A,B,C,D)$ 2) $\operatorname{nkoll}(A,C,D)$ 3) $A \equiv B$ 4) Es gibt genau eine Ebene $E$, die $A$, $C$ und $D$ enthält 5) $B \in E$ 6) $A,B,C,D \in E$ 7) $\operatorname{komp}(A,B,C,D)$ 8) (7) ist Widerspruch 9) Annahme (3) ist falsch	1) Voraussetzung 2) (1) (siehe Diskussion) 3) Annahme 4) Axiom I/4 5) (3),(4) 6) (4),(5) 7) (6), Definition komplanar 8) zur Voraussetzung (1) 9) (8)