Übungsaufgaben 3 EG WS2010

Alle Aufgaben beziehen sich auf die ebene Geometrie.

Aufgabe 1

Beweisen Sie: Wenn die beiden Geraden $\ g$ und $\ h$ den Punkt $\ Z$ und nur den Punkt $\ Z$ gemeinsam haben, dann gilt $S_h \circ S_g = D_{Z,2|\angle (g,h)}|$.

Gitl nicht: $S_h \circ S_g = D_{Z,\angle (g,h)*2}$?--Tja??? 10:00, 25. Nov. 2010 (UTC) hab's gerade geändert--*m.g.* 10:19, 25. Nov. 2010 (UTC) danke

Lösung von Aufgabe 1

Wir zeigen zunächst, dass die Nacheinanderausführung $S_h \circ S_g$ überhaupt eine Drehung ist.

Hierzu brauchen wir nur zu zeigen, dass $S_h \circ S_g$ genau einen Fixpunkt hat, denn eine Bewegung ist genau dann eine Drehung, wenn sie genau einen Fixpunkt hat. Weil Z der einzige Punkt ist, der sowohl auf g als auch auf h liegt, ist er auch der einzige Fixpunkt von $S_h \circ S_g$ (Der Leser überzeuge sich davon.)

Also ist $S_h \circ S_g$ eine Drehung um den Fixpunkt Z.

Es bleibt zu zeigen, dass der Drehwinkel $\alpha$ dieser Drehung doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen den beiden Geraden g und h (Reihenfolge beachten).

Hierzu reicht es zu zeigen, dass ein spezieller Punkt P mit P verschieden von Z derart durch $S_h \circ S_g$ auf P' abgebildet wird, dass der Winkel $\angle P,Z,P'$ doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen den beiden Geraden g und h.

Begründung:

Aufgabe 2

Es seien $\ g$ und $\ h$ zwei zueinander parallele Geraden. Ferner sei $\ a$ eine Gerade, die senkrecht auf $\ g$ und damit auch senkrecht auf $\ h$ steht. Der Punkt $\ G$ sei der Schnittpunkt von $\ a$ mit $\ g$ und der gemeinsame Schnittpunkt von $\ a$ und $\ h$ sei mit $\ H$ bezeichnet.

Man beweise: $S_h \circ S_g = V_{2 \overrightarrow{GH}}$.


==Beweis Aufgabe 2==

Es sei $\ P$ ein Punkt der Ebene mit $\ P \notin \ g, h$ (Für $\ P \in \ g \ oder \ h$ geht der Beweis analog)
Wir haben zu zeigen:
1. $\ PP'' \ || \ GH$
2. $\ 2| \overrightarrow{GH}| \ = \overline {|PP''|}$
3. Den Richtungssinn müssen wir, glaube ich, nicht zeigen, da klar ist, dass wir zuerst an g und danach an h spiegeln und somit klar ist, dass die "Richtung" von G nach H geht (stimmt das??)

1. Bei der Spiegelung von $\ P$ an $\ g$ erhalten wir den Lotfußpunkt $\ L1$. Bei der Spiegelung von $\ P'$ an $\ h$ erhalten wir den Lotfußpunkt $\ L2$.
Somit sind $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ alle rechte Winkel und wir erhalten das Rechteck $\overline {GHL1L2}$.

Daraus folgt, dass $\ L1L2 \ || \ GH$, woraus man folgern kann, dass $\ PP'' \ || \ GH$
2.
Beweis

Beweisschritt	Begründung
1) $\overrightarrow{GH} \cong \overline {L1L2}$
2) $|\overline {L1L2} | \ = \ | \overline {L1P'} | \ + \ | \overline {P'L2}|$	Zwischenrelation (gilt nur für die Annahme, dass P in einer anderen Halbebene bezüglich g liegt wie h, für die anderen Fälle müsste der Beweis aber ähnlich ablaufen.)
3) $\ 2| \overline {L1P'}| \ =\ | \overline {PP'}|$ , $\ 2| \overline {P'L2}| \ =\ | \overline {P'P''}|$	Definition Geradenspiegelung
4) $\ | \overline {PP''}| \ =\ 2| \overline {L1L2}| \ =\ 2| \overline {GH}|$	(1), (2), (3)

- Steph85

Aufgabe 3

Es seien $\ Z_1$ und $\ Z_2$ zwei nicht identische Punkte. Ferner seien die Winkel $\ \frac{\alpha}{2}$ und $\ \frac{\beta}{2}$ supplementär.

Man beweise: $D_{Z_2,\beta} \circ D_{Z_1, \alpha} = V_{2 \overrightarrow{Z_1Z_2}}$.

Beweis

Ist dieser Satz überhaupt korrekt?
--Tja??? 18:19, 28. Nov. 2010 (UTC) Ich denke nicht. Zwar ist das Ergebnis zweier solcher Drehungen eine Verschiebung, die Richtung ist jedoch eine andere und die Länge ist auch eine andere(außer $\alpha = \beta = 180$). Hier ein Gegenbeispiel:

A und das Bild der Verschiebung stimmen nicht über ein!