Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11)

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: $\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c$ .
b) Welche Eigenschaft der Relation $\|$ auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

Ich mache mal einen Anfang:
Vor.: a, b und c sind drei paarweise versch. Geraden
Beh.: $\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c$ .

Annahme: $\ a \| b \land b \| c \Rightarrow$ a nicht parallel zu c

b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --Flo 21 15:30, 5. Mai 2011 (CEST) wie kann ich die Tabelle an die Stelle bekommen wo sie hin soll???. Das ist eine ganz schöne Fummelei, die Tabelle zu erstellen!--Flo 21 15:30, 5. Mai 2011 (CEST)

Beweisschritt	Begründung
1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden	Vor.
2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt	Axiom I/0
3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist	2), Parallelenaxiom
4) eine weitere Gerade geht durch A und ist nicht parallel zu a	Def. Schnittpkt von Geraden
	Widerspruch zur Vor.