Lösung von Aufg. 8.5 (SoSe 11)
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Version vom 31. Mai 2011, 23:25 Uhr von HecklF (Diskussion | Beiträge)
Satz:
- Von drei paarweise verschiedenen Punkten
und
ein und derselben Geraden
liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
- Von drei paarweise verschiedenen Punkten
Beweisen Sie diesen Satz.
Voraussetzung: A, B, C sind paarweie verschieden, und liegen in ein und derselben Gerade
Behauptung: Ein Punkt B (o. B. d. A.) liegt zwischen den beiden anderen
Beweis durch Widerspruch:
Fall 1: Kein Punkt liegt zwischen zwei anderen
Annahme: |AB| = |AC| = |BC|
1) | AB| = |AC| ![]() |
Axiom II.2, Axiom II.1, Annahme |
2) | AC| = |BC| ![]() |
Axiom II.2, Axiom II.1, Annahme |
3) | A = B = C | (1), (2), Transitivität von "=" |
4) | Widerspruch zur Voraussetzung A, B, C paarweise verschieden; Annahme ist zu verwerfen | (3) |
Fall 2: Zwei Punkte liegen zwischen zwei anderen
Annahme: Es gilt: Zw(A, B, C) und Zw(B, A, C)
1) | AB| + |BC| = |AC| | Def. ZWrel., Annahme |
2) | BA| + |AC| = |BC| | Def. ZWrel., Annahme |
3) | AB| + |BA| + |AC| = |AC| | Rechnen in R, (1), (2) |
4) | AB| + |BA| = 0 | Rechnen in R, (3) |
5) | A = B | Axiom II.1 (d als positive reele Zahl und wenn eine Zahl a mit einer anderen Zahl b addiert wird und Null ergibt, ist a=b=0), Axiom II.2 |
6) | Widerspruch zur Voraussetzung, paarweise verschieden | (5) |
--Flo60 23:25, 31. Mai 2011 (CEST)