Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe 11)

Der Basiswinkelsatz

Gleichschenklige Dreiecke

Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck)

Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Übungsaufgabe

Der Basiswinkelsatz

Satz VII.5: Basiswinkelsatz

In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten $\ a$ und $\ b$ kongruent zueinander:

Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt $\ M$ der Dreiecksseite $\ c$.

Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke $\overline{AMC}$ und $\overline{BMC}$ kongruent zueinander sind:

Nachweis von $\overline{AMC} \cong \overline{BMC}$:

Nr.	Skizze	Beweisschritt	Begründung
(1)		$\ a \cong \ b$	Voraussetzung
(2)		$\overline{AM} \cong \overline{MB}$	$\ M$ ist Mittelpunkt von $\ c$
(3)		$\overline{MC} \cong \overline{MC}$	trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)
(4)		$\overline{AMC} \cong \overline{BMC}$	(1), (2), (3), SSS

Wegen (4) gilt nun auch $\alpha \cong \beta$.

w.z.b.w.

Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?

Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes

Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.

Lemma 1

Die Winkelhalbierende $\ SW^+$ eines Winkels $\ \angle ASB$ schneidet die Strecke $\overline{AB}$ in genau einem Punkt $\ P$.

Beweis von Lemma 1

später (Wir haben wichtigeres zu tun.) googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.

Das Mittelsenkrechtenkriterium

Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)

Eine Menge $\ M$ von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke $\ \overline{AB}$, wenn für jeden Punkt $\ P \in\ M$ gilt: $\overline{AP} \cong \overline{BP}$.

Bezug zur Schule: Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke $\overline{AB}$ mittels Zirkel und Lineal:

Konstruktionsvorschrift:

gegeben: Strecke $\overline{AB}$

gesucht: $\ m$ , die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$

Schrittnr.	Konstruktionsschritt
1.	Zeichne einen Kreis um $\ A$, dessen Radius $\ r$ länger als die Hälfte der Länge der Strecke $\overline{AB}$ ist.
2.	Behalte $\ r$ bei und zeichne einen Kreis um $\ B$.
3.	Der Kreis um $\ A$ schneidet den Kreis um $\ B$ in den beiden Schnittpunkten $\ S_1$ und $\ S_2$.
4.	Zeichne die Gerade $\ S_1S_2$. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$.

Frage: Ist dieser Algorithmus korrekt? Anders gefragt: Ist $\ S_1S_2$ wirklich die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$?

Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:

Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$gehört.)

Wenn ein Punkt $\ P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$.

Beweis von Satz VII.6 a

Übungsaufgabe (Das Video hilft)

Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte $\ S_1$ und $\ S_2$ Punkte der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ sind.

Die Wahl des Radius $\ r$ der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für $\ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |$. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.

Die Frage anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ jeweils ein und denselben Abstand?

Noch anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke $\overline{AB}$ notwendigerweise zu $\ A$ und zu $\ B$ ein und denselben Abstand?

Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:

Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ gehört)

Wenn ein Punkt $\ P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ ein und denselben Abstand.

Übungsaufgabe