Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe 11)

Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel

In welchen Fällen handelt es sich um....

Stufenwinkel

Wechselwinkel

entgegengesetzt liegende Winkel?

Definition X.1: (Stufenwinkel)

(ergänzen Sie)

Definition X.2: (Wechselwinkel)

(ergänzen Sie)

Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)

(ergänzen Sie)
Zwei Winkel $\angle p,q$ und $\angle r,s$ sind entgegengesetzt liegende Winkel, wenn der Stufenwinkel des Winkels $\angle p,q$ und der Winkel Nebenwinkel sind. --Teufelchen 20:39, 12. Jul. 2011 (CEST)

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes

Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien $\ a$ und $\ b$ zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade $\ c$ jeweils geschnitten werden. Es seien ferner $\ \alpha$ und $\ \beta$ zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von $\ c$ mit $\ a$ und $\ b$ entstehen mögen.

Wenn die beiden Stufenwinkel $\ \alpha$ und $\ \beta$ kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden $\ a$ und $\ b$ parallel zueinander.

Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien $\ a, b$ und $\ c$ drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade $\ c$ möge $\ a$ in dem Punkt$\ A$ und die Gerade $\ b$ in dem Punkt $\ B$ schneiden. $\ \alpha$ und $\ \beta$ sei ein Paar von Stufenwinkeln, welches bei dem Schnitt von $\ a$ und $\ b$ mit $\ c$ entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) $\ \alpha \cong \beta$

Behauptung:

$\ a \| b$

Annahme:

$a\not\| b$

Den Rest können Sie selbst!

Beweisschritt	Begründung
1) $a\not\| b$	Ann.
2) $\ a \cap b$={S}	1), Satz Schnittpunkt von Geraden
3) $|\alpha | \neq |\beta |$ (habe nicht kongruent nicht gefunden)	1,2
	Widerspruch zur Vor., Ann. ist zu verwerfen, Beh. stimmt.

stimmt das so? Ich finde, das ist sehr kurz, aber mir fällt weiter nichts dazu ein. --Teufelchen 21:01, 12. Jul. 2011 (CEST)