Lösung von Aufg. 14.6 (SoSe 11)

Man beweise: Ein Punkt $\ P$ gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels $\ \alpha$, wenn er zu den Schenkeln von $\ \alpha$ jeweils denselben Abstand hat.

$\ Vor: \alpha \ = \angle \ a,b \ = \angle \ ASB$
$\ Winkelhalbierende: \ SW^+$
$\ Punkt \ P, \ |Pa| \ = \ |Pb|$
$\ Beh: \ P \in \ SW^+$

$\ 1) \ |PS| \ = \ |PS|$....(trivial)
$\ 2) \ Es \ sei \ l \ das \ Lot \ durch \ P \ auf \ a \ mit \ Lotfusspunkt \ La$....(Ex. + Eind. des Lots)
$\ 3) \ Es \ sei \ m \ das \ Lot \ durch \ P \ auf \ b \ mit \ Lotfusspunkt \ Lb$....(Ex. + Eind. des Lots)
$\ 4) \ |PLa| \ = \ |PLb|$....(Vor.)
$\ 5) \ | \angle \ PLaS| \ = \ | \angle \ PLbS| \ = \ 90$....(Def. Lot, Vor)
$\ 6) \triangle \ PLaS \cong \triangle \ PLbS$....(1,4,5, SsW, Der gilt, nach Korollar1 zum schwachen Außenwinkelsatz haben die Dreiecke mindestens zwei spitze Innenwinkel, Damit liegt dem rechten Winkel die längste Seite gegenüber (Satz größerer Winkel, größere Seite))
$\ 7) \angle \ LaSP \cong \angle \ LbSP$....(6)
$\ 8) \ SP^+ \ ist \ Winkelhalbierende \ SW^+$....(7, Def WH)
q.e.d. ---phil- 22:19, 19. Jul. 2011 (CEST)