Tangentenkriterium
Aus Geometrie-Wiki
Version vom 24. Juli 2011, 10:53 Uhr von HecklF (Diskussion | Beiträge)
Inhaltsverzeichnis |
Tangentenkriterium
Kriterium: (Tangete am Kreis)
- Eine Gerade t, die durch einen Punkt A eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist genau dann Tangente an k, wenn t senkrecht auf MA steht.
- Eine Gerade t, die durch einen Punkt A eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist genau dann Tangente an k, wenn t senkrecht auf MA steht.
Satz 1: (Tangete am Kreis)
Beweis durch Wiederspruch:
Voraussetzung:
Behauptung:
Annahme:
1 | Es existiert ein Lot von M auf t, dieses ist eindeutig. Der Lotfußpunkt auf k heiße B. | Ex. und Eindeutigkeit Lot, Annahme, Voraussetzung |
2 | CB| = |BA| | Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze |
3 | ![]() |
nach Konstruktion, Def. NW, Def. supplementär, Supplementaxiom, Def. Lot (1) |
4 | ![]() |
MB| = |MB| |
5 | MC| = |MA| = r nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist. |
Satz 2: (Tangente am Kreis)
t ist Tangente an k.
Eigentlich erscheint dieser Beweis komisch. Allerdings könnte es ja sein, dass wenn eine Gerade durch eben einen Punkt A verläuft und senkrecht auf dem Berührradius steht, dass dann trotzdem ein zweiter Schnittpunkt vorhanden ist mit k und dann wäre halt t keine Tangente mehr.
Voraussetzung:
Behauptung: t ist Tangente an k
Annahme: Es ex. ein Punkt S:
Ich versuche diesen Beweis bewusst in der absoluten Geometrie zu Beweisen. Mit der Innenwinklesumme wäre es natürlich noch einfacher, aber zwecks der Übung.
1 | ![]() |
Annahme, Definiton Kreis und Radius |
2 | ![]() |
Voraussetzung, Basiswinkelsatz, (1), Def. Senkrecht |
3 | Demnach sind im Dreieck zwei Winkel nicht spitz, was ein Widerspruch zu einem der Korollare ist. Demnach ist die Annahme zu verwerfen. | Korollar des schwachen Außenwinkelsatzes, (2), Definition Dreieck |
--Flo60 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)