Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe 11)

Der Basiswinkelsatz

Gleichschenklige Dreiecke

Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck)

Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Übungsaufgabe

Der Basiswinkelsatz

Satz VII.5: Basiswinkelsatz

In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten $\ a$ und $\ b$ kongruent zueinander:

Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt $\ M$ der Dreiecksseite $\ c$.

Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke $\overline{AMC}$ und $\overline{BMC}$ kongruent zueinander sind:

Nachweis von $\overline{AMC} \cong \overline{BMC}$:

Nr.	Skizze	Beweisschritt	Begründung
(1)		$\ a \cong \ b$	Voraussetzung
(2)		$\overline{AM} \cong \overline{MB}$	$\ M$ ist Mittelpunkt von $\ c$
(3)		$\overline{MC} \cong \overline{MC}$	trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)
(4)		$\overline{AMC} \cong \overline{BMC}$	(1), (2), (3), SSS

Wegen (4) gilt nun auch $\alpha \cong \beta$.

w.z.b.w.

Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?

Da wir für den Beweis vom SSS den Basiswinkelsatz benutzen, deswegen dürfen wir nicht für den Beweis vom Basiswinkelsatz den SSS benutzen. --Peterpummel 20:41, 1. Jul. 2011 (CEST)

Bei der Klausurvorbereitung drübergestolpert: Ist nicht außerdem die nette Skizze irreführend? Nur aus der Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten wissen wir doch noch nicht, dass sie auch durch C geht, oder? --WikiNutzer 18:16, 24. Jul. 2011 (CEST)

Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes

Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.

Das finde ich ganz schön gemein von den Dozenten ein unschuldiges Lemma vorauszuschicken. Es ist doch noch so klein. Naja, um sauber beweisen zu können müssen wir dieses Opfer wohl bringen. Dann mach es gut kleines Lemma, pass gut auf dich auf und vielleicht sehen wir uns ja irgendwann wieder :-) --Flo60 21:14, 7. Jul. 2011 (CEST)

Lemma 1

Die Winkelhalbierende $\ SW^+$ eines Winkels $\ \angle ASB$ schneidet die Strecke $\overline{AB}$ in genau einem Punkt $\ P$.

Beweis von Lemma 1

später (Wir haben wichtigeres zu tun.) googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.

Das Mittelsenkrechtenkriterium

Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)

Ein Punkt $\ P$ gehört genau dann zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$, wenn $\overline{AP} \cong \overline{BP}$ gilt.

Hier fand eine Diskussion zu Satz VII.6 statt. Ich hab den inhalt in die Diskussionsseite verschoben und dort meine Bemerkungen gemacht.--*m.g.* 18:34, 9. Jul. 2011 (CEST)

Bezug zur Schule:

Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke $\overline{AB}$ mittels Zirkel und Lineal:

Konstruktionsvorschrift:

gegeben: Strecke $\overline{AB}$

gesucht: $\ m$ , die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$

Schrittnr.	Konstruktionsschritt
1.	Zeichne einen Kreis um $\ A$, dessen Radius $\ r$ länger als die Hälfte der Länge der Strecke $\overline{AB}$ ist.
2.	Behalte $\ r$ bei und zeichne einen Kreis um $\ B$.
3.	Der Kreis um $\ A$ schneidet den Kreis um $\ B$ in den beiden Schnittpunkten $\ S_1$ und $\ S_2$.
4.	Zeichne die Gerade $\ S_1S_2$. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$.

Frage: Ist dieser Algorithmus korrekt? Anders gefragt: Ist $\ S_1S_2$ wirklich die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$?

Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:

Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$gehört.)

Wenn ein Punkt $\ P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$.

Beweis von Satz VII.6 a

Übungsaufgabe (Das Video hilft)

Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte $\ S_1$ und $\ S_2$ Punkte der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ sind.

Die Wahl des Radius $\ r$ der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für $\ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |$. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.

Die Frage anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ jeweils ein und denselben Abstand?

Noch anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke $\overline{AB}$ notwendigerweise zu $\ A$ und zu $\ B$ ein und denselben Abstand?

Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:

Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ gehört)

Wenn ein Punkt $\ P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ ein und denselben Abstand.

Bemerkung zu der Idee der notwendigen Bedingung:

Wir wissen, eine Implikation aus a folgt b bedeutet, dass a eine hinreichende Bedingung für b ist. Warum kennzeichnet eine Implikation jetzt auf einmal eine notwendige Bedingung?

Natürlich kennzeichnet die Implikation VII. 6 b auch eine hinreichende Bedingung. Dafür dass ein Punkt $\ P$ zu zwei verschiedenen Punkten $\ A$ und $\ B$ ein und denselben Abstand hat ist es hinreichend, dass $\ P$ auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ liegt.

Zur Implikation VII.6 b äquivalent ist deren Kontraposition:

Wenn ein Punkt $\ P$ zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ nicht ein und denselben Abstand hat, dann ist er auch nicht ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$.

Alles klar?--*m.g.* 19:37, 9. Jul. 2011 (CEST)

Beweis: Übungsaufgabe