12)

Beweisen Sie auf der Grundlage der Definition aus Aufgabe 3.3:
Die Winkelhalbierende eines Winkels ist die Menge aller Punkte, die im Inneren des Winkels liegen und deren Abstände von den beiden Schenkeln des Winkels jeweils gleich sind.
Anmerkung:

• Der Abstand eines Punktes P auf eine Gerade g ist die Länge des Lotes von P auf g.
• Der Beweis geht in zwei Schritten: Sie müssen erstens zeigen, dass jeder Punkt der Winkelhalbierenden (entspr. Def. Aufg. 3.3) von den beiden Schenkeln den gleichen Abstand hat und zweitens, dass jeder Punkt, der von den beiden Schenkeln den gleichen Abstand hat und im Inneren des Winkels liegt, zur Winkelhalbierenden (entspr. Def. Aufg. 3.3) gehört.
• Die Beweise lassen sich mit Hilfe der Kongruenzsätze führen, die Sie aus der Schule bereits kennen sollten.

Voraussetzung:

$\angle w,p = \angle w,q$

$\angle p,a = \angle q,b$ = 90°

$\overline{SA} = \overline{,SA}$

Behauptung1:

$a \tilde {=} b$

Beweis: $\angle p,c = \angle c,q \wedge \angle p,a = \angle b,q \wedge \overline{AS} = \overline{AS \Rightarrow } Dreieck \overline{SAB} \tilde {=} Dreieck\overline{SCA} \Rightarrow a \tilde {=} b$ Kongruenzsatz WSW

Behauptung2:

$\forall A :\left| Ap \right| = \left| Aq \right| \Leftrightarrow A\in w$

--RicRic