12)

Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.

Vor.: Es sei AB eine Strecke und M der Mittelpunkt von AB

Beh.: Es existiert höchstens ein Mittelpunkt Ann.: Es existiert M2 ein folgenden Eigenschaften: M2 ist Mittelpukt der Srecke AB und M2 ungleich M

Beweis:

Schritt	Begründung
(1)zw.(A,M,B)	Vor., Def Mittelpunkt
(2)zw.(A,M2,B)	Ann.
(3) $\left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| AB \right|$	(1),zw Relation
(4) $\left| AM \right| + \left| M2B \right| = \left| AB \right|$	(2), zw Relation
(5)$M \neq M2$	Ann.
(6) $\left| AM \right| + \left| MB \right|=\left| AM \right| + \left| M2B \right|$	(3),(4), Rechen in R
(7) $\left| AM \right| = \left| MB \right|$	Def. Mittelpunkt (3),(4)
(8) $\left| AM2 \right| = \left| M2B \right|$	Def. Mittelpunkt (3),(4)
(9) $2\left| AM \right| = \left| AB \right|$	(7)
(10) $2\left| AM2 \right| = \left| AB \right|$	(8)
(11) $2\left| AM \right| = 2\left| M2A \right|$	(10)
(12) M=M2	(11) Axiom vom Lineal

--RicRic 00:05, 6. Dez. 2011 (CET)