12)

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace$


Vor.: $\operatorname{koll}(A, B, C) \wedge A\neq B\neq C\neq D \wedge A,B,C\in E$
Beh.: $\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace$
Beweis:

Schritt	Begründung
(1)$\operatorname{koll}(A, B, C)$	Vorr
(2)$\operatorname(Zw) (A, B, C) entweder oder \operatorname(Zw) (B, C, A) entweder oder \operatorname(Zw) (C, A, B)$	Dreiecksungleichung, Abstand kann nicht negativ sein
(3)Fall 1: $\operatorname(Zw) (A, B, C)$ $\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ g \cap \overline{AB}=\phi$ $\overline{AB} c\overline{AC}$ $\ g \cap \overline{AC} =\left\{ {S} \right\}$ Behaupt stimmt	verschiedene Geraden haben höchstens einen Punkt gemeinsam, zw Relation, Teilmengenbezieung
Fall 2: $\operatorname(Zw) (B, C, A)$ $\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} oder g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\}$ Wiederspruch zur Behauptung
Fall 3: $\operatorname(Zw) (A, B, C)$ $\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{AC}=\phi$ oder: g \cap \overline{AC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{BC}=\phi</math>
(4)$\exists P : P \operatorname{nkoll}(A, B, C)$	A I/3
(5) $\overline{ABP}$	AI/1
(6) $\overline{BCP}$	AI/1
(7) $\overline{ACP}$	AI/1
(8) Fall 1: $P\in g$betrachte ich nachher $P\notin g$
(9) $\ g \cap \overline{AB}= \left\{ {S} \right\} \Rightarrow entweder: \ g \cap \overline{AP}= \left\{ {H}\right\} oder:\ g \cap \overline{BP}= \left\{ {H} \right\}$	Axiom von Pasch ,(5)
(10) $\ g \cap \overline{BC} =\phi \Rightarrow entweder:g \cap \overline{BP} =\phi \wedge g \cap \overline{CP} =\phi oder: <math>\ g \cap \overline{BP}= \left\{ {S} \right\} \wedge <math>\ g \cap \overline{CP}= \left\{ {H} \right\}$	Axiom von Pasch ,(6)
(11) $\ g \cap \overline{AC}= \left\{ {S} \right\} \Rightarrow entwerder: \ g \cap \overline{CP}= \left\{ {H} \right\} oder: \ g \cap \overline{AP}= \left\{ {H} \right\}$	Axiom von Pasch ,(7)
(12) $\left| AB \right| +\left| BC \right| =\left| AC \right|$	(3)
(13) $\overline{AB} c\overline{AC}$	(12)
(14) $\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ g \cap \overline{AC} =\left\{ {S} \right\}$	(9),10),(11),(13)
Fall 2 von (7) analog nur mit $\overline{AP} \in g$

Ich denke es sind noch einige Fehler drin, traue mich dennoch mal :-)--RicRic 23:15, 8. Dez. 2011 (CET)