Lösung von Aufgabe 2.8 SoSe 2018

Aufgabe 2.8 SoSe 2018 Der Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke lautet: Satz: (Höhensatz) In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe $h_c$ auf die Hypotenuse so groß, wie der Flächeninhalt des Rechtecks, dessen Seitenlängen den Hypotenusenabschnitten $q$ und $p$ entsprechen. Kurz: $h_c^2=q \cdot p$ Beweisen Sie den Höhensatz unter Verwendung des Satzes von Pythagoras. Lösung Es sei $\overline{ABC}$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel $\gamma = \angle ACB$. Die Höhe $h$ von $C$ auf die Seite $c=\overline{AB}$ habe auf $c$ den Fußpunkt $~L$. $~L$ teilt die Hypotenuse $c$ in die beiden Hypotenusenabschnitte $q:= \overline{AL}$ und $p:= \overline{LB}$. Es gilt also $c=q+p$. Weil die Höhe $h$ senkrecht auf der Hypotenuse $c$ steht, entstehen die zwei rechtwinklige Teildreiecke $\overline{ALC}$ und $\overline{BLC}$. Im rechtwinkligen Teildreieck $\overline{ALC}$ ist $a= \overline{AC}$ die Hypotenuse und $\angle ALC$ der rechte Winkel. Im rechtwinkligen Teildreieck $\overline{BLC}$ ist $b= \overline{BC}$ die Hypotenuse und $\angle BLC$ der rechte Winkel. $\begin{matrix} \text{Nr.} & \text{Beweisschritt} & ~ & ~ & \text{Begründung} \\ \text{(I)} & a^2+b^2 & = &c^2 & \text{1. und Satz des Pythagoras für } \overline{ABC} \\ \text{(II)} & q^2 + h^2 & = & b^2 & \text{ 6. und Satz des Pythagoras für } \overline{ALC} \\ \text{(III)} & p^2 + h^2 & = & a^2 & \text{ 7. und Satz des Pythagoras für } \overline{BLC} \\ \text{(IV)} & a^2+b^2 &= &(q+p)^2 & \text{4. und (I)} \\ \text{(V)} & a^2 + b^2 &= & q^2 +2qp + q^2 & \text{(IV)} \\ \text{(VI)} & p^2 + h^2 + q^2 + h^2 &= & q^2 +2qp + q^2 & \text{ (III), (IV), (V)} \\ \text{(VII)} & 2h^2 &= & 2qp & \text{(VI)} \\ \text{(VIII)} & h^2 &= & qp & \text{ (VII), q.e.d.} \\ \end{matrix}$