Lösungen zu den Übungsaufgaben der Serie 3 SoSe 2020

Aufgabe 3.1

Aufgabe 3.1 a)

Schauen Sie in den Qelltext. Die Tilde ~ muss jeweils ersetzt werden.
Wenn Sie mit der Tabellensyntax nicht klar kommen, schauen Sie sich erst die Aufgabe 3.5 an. Die Tabellen sind kleiner und übersichtlicher und damit schneller zu verstehen.

$\begin{array}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline Bsp. & a & m_1 & m_1 : a & m_2 & m_2 : a & n_1 & n_1 : a & n_2 & n_2 : a & m_1 + n_1 &(m_1 + n_1):a & m_2 + n_2 & (m_2 + n_2):a \\ \hline 0 & 4 & 7 & 1~R~3 & 11 & 2~R~3 & 5 & 1~R~1 & 9~ & 1~R~1 & 7+5=12 & 3~R~0 & 11 + 5 = 16 & 4~R~0 \\ \hline 1 & 7 & 15 & 2~R~1 &8 &1~R~1 &13 &1~R~6 &20 &2~R~6 & 15+13=28 &4~R~0 & 8+20=28 &4~R~0 \\ \hline 2 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline 3 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline 4 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline \end{array}$

Aufgabe 3.1 b)

Voraussetzung 1

$m_1$ und $m_2$ lassen bei Division durch $4$ denselben Rest $r_1$.
also:

Voraussetzung 1.1

$\exist p_1 \in \mathbb{N}: m_1=4p_1+r_1$

Voraussetzung 1.2

$\exist p_2 \in \mathbb{N}: m_2=4p_2+r_1$

Voraussetzung 2=

$n_1$ und $n_2$ lassen bei Division durch $4$ denselben Rest $r_2$.
also:

=Voraussetzung 2.1

$\exist q_1 \in \mathbb{N}: n_1=4p_1+r_2$

Voraussetzung 2.2

$\ldots$

Behauptung

$m_1 + n_1$ sowie $m_2+n_2$ lassen bei Division durch $4$ jeweils denselben Rest $r_3$.
Oder anders ausgedrückt:
Es sei $r_3$ der Rest, der bei der Division von $m_1+n_1$ durch $4$ gelassen wird.
Behauptung (und damit zu zeigen): $r_3$ wird auch bei der Division von $m_2+n_2$ durch $4$ gelassen.

Beweis

[[Datei:

Aufgabe 3b und x

]]

Aufgabe 3.1 c)

Voraussetzung 1

$m_1$ und $m_2$ lassen bei Division durch $a$ denselben Rest $r_1$.
also:

Voraussetzung 1.1

$\exist p_1 \in \mathbb{N}: m_1=a \cdot p_1+r_1$

Voraussetzung 1.2

$\exist p_2 \in \mathbb{N}: m_2=a \cdot p_2+r_1$

Voraussetzung 2

also:

Aufgabe 3.2

[[Datei:

Aufgabe3.2 a,b,c,d

]]

Aufgabe 3.2 a)

• Achsensymmetrie 1:
• Achsensymmetrie 2:
• Achsensymmetrie 3:
• Achsensymmetrie 4:

Aufgabe 3.2 b)

• Drehung 1:
• Drehung 2:
• Drehung 3:
• Drehung 4:

Aufgabe 3.2 c)

• (a) gleichzeitig zwei Drehsymmetrien und zwei Achsensymmetrien haben :
• (b) nur Achsensymmetrien haben:
• (c) nur Drehsymmetrien haben:
• (d) genau eine Achsensymmetrie haben:
• (e) genau zwei Achsensymmetrien haben:
• (f) bei folgenden Viereckstypen sind alle Repräsentanten ähnlich zueinander:

Aufgabe 3.2 d)

Schiefdrachen:

Aufgabe 3.2 e)

[[Datei:

Aufgabe 3.2 e,f,g

]]

Drachen

Aufgabe 3.2 f)

Raute unter Verwendung des unmittelbaren Oberbegriffs

Aufgabe 3.2 g)

Haus der Vierecke unter dem Gesichtspunkt Symmetrien: z.B.

• 8 Symmetrien
• 7 Symmetrien
• 6 Symmetrien
• 5 Symmetrien
• 4 Symmetrien

...

Aufgabe 3.3

Aufgabe 3.3 a)

Definition:(Mittelsenkrechte)

Wenn eine Gerade $m$ eine Strecke in deren Mittelpunkt in einem rechten Winkel schneidet, so ist diese Gerade die Mittelsenkrechte der Strecke.

Aufgabe 3.3 b)

Satz 3.2: (Halbes Mittelsenkrechtenkriterium)

Es sei $m$ die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$.

$\forall P \in m: \overline{PA} \cong \overline{PB}$.

Formulieren Sie Satz 3.2 in "`Wenn Dann"' ohne die Verwendung von mathematischer Formelsprache.

Wenn ein Punkt $P$ auf der Geraden $m$ liegt, dann hat er denselben Abstand zu Punkt $A$ wie zu Punkt $B$.

Aufgabe 3.3 c)

Formulieren Sie Satz 3.2 in mathematischer Formelsprache, ohne den Allquantor zu verwenden:

Aufgabe 3.3 d)

Beweis von Satz 3.2

[[Datei:

Aufgabe 3.3 b,c,d,e,f

]]

Aufgabe 3.3 e)

Umkehrung von Satz 3.2
Es sei $m$ eine Gerade, die die Strecke $\overline{AB}$ schneidet.
Wenn $\forall P \in m: \overline{PA} \cong \overline{PB}$ gilt, dann ist m die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$.

Aufgabe 3.3 f)

Äquivalenz, Mittelsenkrechtenkriterium

Aufgabe 3.3 g)

Es sei $a \Rightarrow b$ eine Implikation. Unter der Kontraposition dieser Implikation versteht man die Implikation $\neg b \Rightarrow \neg a$. Formulieren Sie die Kontraposition von Satz 3.2.

Aufgabe 3.3 h)

Begründen Sie in der ebenen Geometrie: Es seien $k_1, k_2, k_3$ drei Kreise mit den Mittelpunkten $M_1, M_2, M_3$. Wenn der Schnitt aller drei Kreise genau zwei Punkte beinhaltet, dann sind $M_1, M_2, M_3$ kollinear.
(Googeln Sie ggf. kolinear)

[[Datei:

Aufgabe3.3h

]]

Aufgabe 3.4

Aufgabe 3.4 a)

Definieren Sie den Begriff Drachenviereck über die Diagonaleneigenschaft.

Aufgabe 3.4 b)

Es sei $\overline{ABCD}$ ein Viereck mit $\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{CB} \cong \overline{CD}$. Beweisen Sie, dass $\overline{ABCD}$ ein Drachen ist.

[[Datei:

Aufgabe3.4 a,b,c

]]

Aufgabe 3.4 c)

Definieren sie Rauten als spezielle Drachen.

Aufgabe 3.5

Aufgabe 3.5 a)

Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung.

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline a & b & a \land b \\ \hline falsch & falsch & falsch \\ \hline falsch & wahr & falsch \\ \hline wahr & falsch & falsch \\ \hline wahr & wahr& wahr \\ \hline \end{array}$

Aufgabe 3.5 b)

Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung.

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline a & b & a \lor b \\ \hline falsch & falsch & falsch \\ \hline falsch & wahr & wahr \\ \hline wahr & falsch & wahr \\ \hline wahr & wahr& wahr \\ \hline \end{array}$

Aufgabe 3.5 c)

Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung.

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline a & b & a \veebar b \\ \hline falsch & falsch & falsch \\ \hline falsch & wahr & wahr \\ \hline wahr & falsch & wahr \\ \hline wahr & wahr& falsch \\ \hline \end{array}$

Aufgabe 3.6

Um ein grundlegendes Verständnis für einen Begriff zu vermitteln, arbeitet man im Mathematikunterricht mit vielen Beispielen und Gegenbeispielen. Für den Begriff "`Mittelsenkrechte"' müssen prinzipiell zwei Bedingungen erfüllt sein: Die Gerade muss senkrecht auf der Strecke stehen $(\perp)$ und diese halbieren $(\frac{1}{2})$. Dann und nur dann, wenn die Verknüpfung $\perp \land \frac{1}{2}$ wahr ist, darf die entsprechende Gerade Mittelsenkrechte der jeweiligen Strecke genannt werden. Aus diesem "`und-Konstrukt"' lässt sich eine grundlegende Klassifizierung von Gegenbeispielen bezüglich einer didaktisch wertvollen schulischen Erabeitung des Begriffs Mittelsenkrechte ableiten. Beschreiben Sie diese Klassifizierung.

Kleiner Tip:

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \perp & \frac{1}{2} & Mittelsenkrechte & Typ \\ \hline falsch & falsch & falsch & 1 \\ \hline falsch & wahr & falsch & 2\\ \hline wahr & falsch & falsch & 3 \\ \hline wahr & wahr& wahr & 4\\ \hline \end{array}$