Übung Aufgaben 2 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

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=Aufgaben zu Sätzen und Beweisen Teil 1=
 
==Aufgabe 2.1==
 
==Aufgabe 2.1==
 
Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.<br />
 
Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.<br />
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==Aufgabe 2.2==
 
==Aufgabe 2.2==
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'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit  |AC|< |BC|  < |AB|  sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
 
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'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)<br /><br />
 
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Beweis 1)
 
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Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
 
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Vor:  |AC|< |BC|  < |AB|. <br />
 
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Beh:  |α|  ≠ |β|<br />
 
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Bew: Da nach Voraussetzung |AC|  ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α|  ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
 
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Beweis 2)
 
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Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
 
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Vor:  |AC|< |BC|  < |AB|. <br />
 
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Beh:  |α|  ≠ |β|<br />
 
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Bew:  Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt:  Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also:  Wenn  |AC|  ≠ |BC|  dann gilt |α|  ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC|  ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α|  ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />
 
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b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />
 
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[[Lösung von Aufgabe 2.2_S (SoSe_12)]]
 
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==Aufgabe 2.3==
 
 
a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach).<br />
 
a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach).<br />
 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt ''S'' geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)?<br />
 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt ''S'' geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)?<br />
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#<math>\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
 
#<math>\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
 
#<math>\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
 
#<math>\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
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[[Lösung von Aufgabe 2.2_S (SoSe_12)]]
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==Aufgabe 2.3==
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Es seien A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ?<br />
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[[Lösung von Aufgabe 2.3_S (SoSe_12)]]
 
[[Lösung von Aufgabe 2.3_S (SoSe_12)]]
  
 
==Aufgabe 2.4==
 
==Aufgabe 2.4==
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Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.<br />
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Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. <br />
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a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?<br />
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b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br />
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a) Formulieren Sie den Satz mit "Wenn... dann..."<br />
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[[Lösung von Aufgabe 2.4_S (SoSe_12)]]
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b)Ergänzen Sie:<br />
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Voraussetzung: <math>\overline{ABC} </math> ist ein Dreieck mit…<br />
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Behauptung:
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[[Lösung von Aufgabe 2.4_S (SoSe_12)]]<br />
  
 
==Aufgabe 2.5==
 
==Aufgabe 2.5==
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Es seien A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ?<br />
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Eine Raute sei folgendermaßen definiert: Ein Viereck mit vier kongruenten Seiten heißt Raute. <br />
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Sie wollen folgenden Satz beweisen: In einer Raute sind die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander. <br />
  
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[[Lösung von Aufgabe 2.5_S (SoSe_12)]]
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a) Formulieren Sie den Satz mit "Wenn... dann..."<br />
  
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b)Ergänzen Sie:<br />
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Voraussetzung:  <br />
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Behauptung:<br />
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[[Lösung von Aufgabe 2.5_S (SoSe_12)]]<br />
 
==Aufgabe 2.6==
 
==Aufgabe 2.6==
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Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:<br />
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Bringen Sie die folgenden Implikationen in die Form ''Wenn-Dann'':
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Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist.<br />  
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# Jedes Quadrat hat vier rechte Innenwinkel.
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Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:<br />
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# Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt auf der Hypotenuse dieses Dreiecks.
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Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br />  
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# In einem konvexen Viereck schneiden sich die Diagonalen des Vierecks.
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a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . <br />
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# Die Geraden, die durch die Diagonalen einer Raute <math>\overline{ABCD}</math>eindeutig bestimmt sind, sind Symmetrieachsen von <math>\overline{ABCD}</math>.
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b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />
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# Es sei <math>\overline{PQRS}</math> ein Paralellogramm. Es gilt: <math>\angle SPQ \tilde= \angle QRS </math>.
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[[Lösung von Aufgabe 2.6_S (SoSe_12)]]
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# Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°.
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[[Lösung von Aufgabe 2.6_S (SoSe_12)]]<br />
  
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==Aufgabe 2.7==
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Bilden Sie die Umkehrungen der Implikationen aus Aufgabe 2.6. Formulieren Sie in den Fällen in denen es sinnvoll ist, Implikation und Umkehrung als Äquivalenz.<br />
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[[Lösung von Aufgabe 2.7_S (SoSe_12)]]<br />
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[[Ideen Aufgabe 2.6 mit 2.7 Übung Heckl (SoSe_12)]]<br />
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[[Category:Einführung_S]]
 
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Aktuelle Version vom 2. Mai 2012, 13:05 Uhr


Inhaltsverzeichnis

Aufgaben zu Sätzen und Beweisen Teil 1

Aufgabe 2.1

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes?
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen (Kriterium).
Lösung von Aufgabe 2.1_S (SoSe_12)

Aufgabe 2.2

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach).
b) Es seien a und b zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade c jeweils in genau einem Punkt S geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel \alpha und \beta . Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)?

  1. \ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta
  2. \alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b
  3. \|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b
  4. \ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta

Lösung von Aufgabe 2.2_S (SoSe_12)


Aufgabe 2.3

Es seien A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ?

Lösung von Aufgabe 2.3_S (SoSe_12)

Aufgabe 2.4

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

a) Formulieren Sie den Satz mit "Wenn... dann..."

b)Ergänzen Sie:
Voraussetzung: \overline{ABC} ist ein Dreieck mit…
Behauptung:
Lösung von Aufgabe 2.4_S (SoSe_12)

Aufgabe 2.5

Eine Raute sei folgendermaßen definiert: Ein Viereck mit vier kongruenten Seiten heißt Raute.
Sie wollen folgenden Satz beweisen: In einer Raute sind die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander.

a) Formulieren Sie den Satz mit "Wenn... dann..."

b)Ergänzen Sie:
Voraussetzung:
Behauptung:
Lösung von Aufgabe 2.5_S (SoSe_12)

Aufgabe 2.6

Bringen Sie die folgenden Implikationen in die Form Wenn-Dann:

  1. Jedes Quadrat hat vier rechte Innenwinkel.
  2. Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt auf der Hypotenuse dieses Dreiecks.
  3. In einem konvexen Viereck schneiden sich die Diagonalen des Vierecks.
  4. Die Geraden, die durch die Diagonalen einer Raute \overline{ABCD}eindeutig bestimmt sind, sind Symmetrieachsen von \overline{ABCD}.
  5. Es sei \overline{PQRS} ein Paralellogramm. Es gilt: \angle SPQ \tilde= \angle QRS .
  6. Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°.

Lösung von Aufgabe 2.6_S (SoSe_12)

Aufgabe 2.7

Bilden Sie die Umkehrungen der Implikationen aus Aufgabe 2.6. Formulieren Sie in den Fällen in denen es sinnvoll ist, Implikation und Umkehrung als Äquivalenz.
Lösung von Aufgabe 2.7_S (SoSe_12)
Ideen Aufgabe 2.6 mit 2.7 Übung Heckl (SoSe_12)

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