Übung Aufgaben 5 (SoSe 13): Unterschied zwischen den Versionen

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== Aufgabe 5.1 ==
 
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a) Geben Sie die Menge <math>M</math> aller konvexen Drachenvierecke an.<br />
 
a) Geben Sie die Menge <math>M</math> aller konvexen Drachenvierecke an.<br />
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b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge <math>M \times M</math> .<br />
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b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge <math>M \times M</math>.<br />
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c) Wir definineren eine Relation <math>R</math> mit <math>R</math>:=''“A ist Teilmenge von B“''. Bestimmen Sie die Relation <math>R</math> auf <math>R \times R</math>.<br />
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c) Wir definineren eine Relation <math>R</math> mit <math>R:="A\ ist\ Teilmenge\ von\ B"</math>. Bestimmen Sie die Relation <math>R</math> auf <math>M \times M</math>.<br />
 
d) Untersuchen Sie die Relation <math>R</math> auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv).<br />
 
d) Untersuchen Sie die Relation <math>R</math> auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv).<br />
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*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math>
 
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*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math>
 
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==Aufgabe 5.3==
 
==Aufgabe 5.3==
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Untersuchen Sie folgende Relation ''S'' auf ihre Eigenschaften:<br />
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<math>\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math><br />
 
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==Aufgabe 5.4==
 
==Aufgabe 5.4==
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Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A  \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br />
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a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br />
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b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br />
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Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br />
 
[[Lösung von Aufgabe 5.4_P (SoSe_13)]]
 
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==Aufgabe 5.5==
 
==Aufgabe 5.5==
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Wir betrachten die Gerade ''g'' und auf dieser Geraden die Relation Punkt ''A'' liegt links von Punkt ''B'' ohne exakte Definition in intuitiver Form. Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf diese Relation zu?<br />
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*Für jeden Punkt ''A'' von ''g'' gilt: ''A'' liegt links von sich selbst.
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*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' liegt, dann liegt ''B'' auch links von ''A''.
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*Für je drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' und ''B'' links von ''C'' liegt, dann liegt ''A'' auch links von ''C''.
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*Für alle Punkte der Geraden ''g'' gilt: Es existiert kein Punkt, der links neben sich selbst liegt.
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*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: entweder liegt ''A'' links von ''B'' oder ''B'' liegt links von ''A'' oder die beiden Punkte ''A'' und ''B'' sind identisch.<br />
 
[[Lösung von Aufgabe 5.5_P (SoSe_13)]]
 
[[Lösung von Aufgabe 5.5_P (SoSe_13)]]
  

Aktuelle Version vom 22. Mai 2013, 19:18 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 5.1

a) Geben Sie die Menge M aller konvexen Drachenvierecke an.
b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge M \times M.
c) Wir definineren eine Relation R mit Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): R:="A\ ist\ Teilmenge\ von\ B" . Bestimmen Sie die Relation R auf M \times M.
d) Untersuchen Sie die Relation R auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv).
Lösung von Aufgabe 5.1_P (SoSe_13)

Aufgabe 5.2

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt?

  • Parallelität von Geraden der Ebene
  • Kongruenz geometrischer Figuren
  • Teilbarkeit in \mathbb{N}
  • Kleinerrelation in \mathbb{R}
  • Größer-Gleich-Relation in \mathbb{R}
  • Ungleichheit in \mathbb{R}

Lösung von Aufgabe 5.2_P (SoSe_13)

Aufgabe 5.3

Untersuchen Sie folgende Relation S auf ihre Eigenschaften:
\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace
Lösung von Aufgabe 5.3_P (SoSe_13)

Aufgabe 5.4

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation \ \Theta (\ \Theta ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge \ E \setminus g (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige \ A,B \in E \setminus g gilt: \ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace.
a) Beschreiben Sie die Relation \ \Theta verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass \ \Theta eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation \ \Theta bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.
Lösung von Aufgabe 5.4_P (SoSe_13)

Aufgabe 5.5

Wir betrachten die Gerade g und auf dieser Geraden die Relation Punkt A liegt links von Punkt B ohne exakte Definition in intuitiver Form. Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf diese Relation zu?

  • Für jeden Punkt A von g gilt: A liegt links von sich selbst.
  • Für je zwei Punkte A und B der Geraden g gilt: Wenn A links von B liegt, dann liegt B auch links von A.
  • Für je drei Punkte A, B und C der Geraden g gilt: Wenn A links von B und B links von C liegt, dann liegt A auch links von C.
  • Für alle Punkte der Geraden g gilt: Es existiert kein Punkt, der links neben sich selbst liegt.
  • Für je zwei Punkte A und B der Geraden g gilt: entweder liegt A links von B oder B liegt links von A oder die beiden Punkte A und B sind identisch.

Lösung von Aufgabe 5.5_P (SoSe_13)

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