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==Satz: Wenn eine Bewegung <math>\phi</math> genau einen Fixpunkt Z hat, dann ist <math>\phi</math> eine Drehung um den Fixpunkt Z.==
 
==Satz: Wenn eine Bewegung <math>\phi</math> genau einen Fixpunkt Z hat, dann ist <math>\phi</math> eine Drehung um den Fixpunkt Z.==
  
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==Beweis==
 
==Beweis==

Version vom 11. November 2010, 17:11 Uhr

Spiegelung_Test
Weinberge und ihre Parallelität.JPG
Beweis Drehung

Satz: Wenn eine Bewegung \phi genau einen Fixpunkt Z hat, dann ist \phi eine Drehung um den Fixpunkt Z.

Beweis

Voraussetzung: \phi ist eine Bewegung, \phi hat genau eine Fixpunkt Z
Behauptung: \beta \cong \beta'

Beweisschritt Begründung
1. P \ne P', Q \ne Q' folgt unmittelbar aus der Voraussetzung (genau ein Fixpunkt Z)
2. \overline {ZP} \cong \overline {ZP'} folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
3. \overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'} folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
4. \overline {PQ} \cong \overline {P'Q'} folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
5. \triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'} sss, folgt aus den Schritten 2-4
6. \alpha \cong \alpha'
|\alpha|= |\alpha'| 		folgt aus Schritt 5
7.|\beta'|=|\alpha'|+|\beta|-|\alpha|
|\beta'|=|\beta|
\beta' \cong \beta 		rechnen in den reellen Zahlen, Schritt 6
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