Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks (SoSe 11): Unterschied zwischen den Versionen
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| − | '''1.''' Konstruiere B' für das gilt CB'(Strecke)= AC(Strecke) und B' Element CB(Strecke Axiom vom Lineal | + | '''1.''' Konstruiere B' für das gilt CB'(Strecke)= AC(Strecke) und B' Element CB(Strecke) (Axiom vom Lineal) |
| − | '''2.''' Das Dreieck AB'C ist nun ein gleichschenkliges | + | '''2.''' Das Dreieck AB'C ist nun ein gleichschenkliges (1.; Def. gleichschenkliges Dreieck) |
| − | '''3.''' δ1=δ2 Basiswinkelsatz; 2. | + | '''3.''' δ1=δ2 (Basiswinkelsatz; 2.) |
| − | '''4.''' δ1=δ2 sind jeweils kleiner als 90 3.;Korollar 2 | + | '''4.''' δ1=δ2 sind jeweils kleiner als 90 (3.;Korollar 2) |
| − | '''5.''' α ist größer als δ1 B' liegt nach Konstruktion im Inneren, Winkeladditionsax. | + | '''5.''' α ist größer als δ1 (B' liegt nach Konstruktion im Inneren, Winkeladditionsax.) |
| − | '''6.''' δ2 ist Außenwinkel von dem Winkel AB'B nach Konstruktion(?) | + | '''6.''' δ2 ist Außenwinkel von dem Winkel AB'B (nach Konstruktion(?)) |
| − | '''7.''' β ist kleiner als δ2 | + | '''7.''' β ist kleiner als δ2 (6.; schwacher Außenwinkelsatz) |
| − | '''8.''' Somit ist α größer β 5.;7. | + | '''8.''' Somit ist α größer β (5.;7.) |
Nun muss noch bewiesen werden, dass γ kleiner ist als α | Nun muss noch bewiesen werden, dass γ kleiner ist als α | ||
Version vom 14. Juli 2011, 10:58 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber)
- Es sei
ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
- Es sei
Beweis von Satz IX.2
Es sei ein Dreieck.
Voraussetzung:
bzw. 
Behauptung:
Die folgenden Hilfskonstruktionen liefern die Beweisidee (kommentieren Sie die Abbildungen und führen Sie den Beweis):
1. Konstruiere B' für das gilt CB'(Strecke)= AC(Strecke) und B' Element CB(Strecke) (Axiom vom Lineal) 2. Das Dreieck AB'C ist nun ein gleichschenkliges (1.; Def. gleichschenkliges Dreieck) 3. δ1=δ2 (Basiswinkelsatz; 2.) 4. δ1=δ2 sind jeweils kleiner als 90 (3.;Korollar 2) 5. α ist größer als δ1 (B' liegt nach Konstruktion im Inneren, Winkeladditionsax.) 6. δ2 ist Außenwinkel von dem Winkel AB'B (nach Konstruktion(?)) 7. β ist kleiner als δ2 (6.; schwacher Außenwinkelsatz) 8. Somit ist α größer β (5.;7.)
Nun muss noch bewiesen werden, dass γ kleiner ist als α
Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber)
- Es sei ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
- Es sei
Beweis von Satz IX.3
Übungsaufgabe
