Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks (SoSe 11)

Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber)

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
$\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|$

Beweis von Satz IX.2

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.

Voraussetzung:
$\left| BC \right| > \left| AC \right|$ bzw. $\left| a\right| > \left| b \right|$

Behauptung:
$\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|$

Die folgenden Hilfskonstruktionen liefern die Beweisidee (kommentieren Sie die Abbildungen und führen Sie den Beweis):

1. Konstruiere B' für das gilt CB'(Strecke)= AC(Strecke) und B' Element CB(Strecke)
Axiom vom Lineal 2. Das Dreieck AB'C ist nun ein gleichschenkliges
1.; Def. gleichschenkliges Dreieck 3. δ1=δ2
Basiswinkelsatz; 2. 4. δ1=δ2 sind jeweils kleiner als 90
3.;Korollar 2 5. α ist größer als δ1 B' liegt nach Konstruktion im Inneren, Winkeladditionsax. 6. δ2 ist Außenwinkel von dem Winkel AB'B nach Konstruktion(?) 7. β ist kleiner als δ2 6.; schwacher Außenwinkelsatz 8. Somit ist α größer β 5.;7.

Nun muss noch bewiesen werden, dass γ kleiner ist als α

--Verteidigungswolf

Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber)

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
$\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right|$

Beweis von Satz IX.3

Übungsaufgabe