Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks WS 11/12: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Beweis von Satz IX.3)
(→‎Beweis von Satz IX.3)
Zeile 25: Zeile 25:
 
Ich denke ich kann beweisen wie in der Vorlesung heute Morgen gewünscht.<br />
 
Ich denke ich kann beweisen wie in der Vorlesung heute Morgen gewünscht.<br />
 
Weiß nur nicht ob ich diesen Beweis in Wiki stellen soll, möchte es unseren Nachfolgern auch wieder die Chance lassen einen Kasten zu gewinnen.<br />
 
Weiß nur nicht ob ich diesen Beweis in Wiki stellen soll, möchte es unseren Nachfolgern auch wieder die Chance lassen einen Kasten zu gewinnen.<br />
−
Was meint ihr?--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 16:58, 20. Jan. 2012 (CET)
+
Was meint ihr?--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 16:58, 20. Jan. 2012 (CET)<br />
 +
Nachdem ich ja jetzt den Bierkasten habe, möchte ich bei erhalt jeden der sich dises Semester öfters akiv im Geowiki beteiligt hat, auf ein Bier einladen, die Tutoren natürlich auch und nur solange der Vorrat reicht :-)--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 16:47, 28. Jan. 2012 (CET)
 +
Vor: <math>\left| a \right| < \left| b \right|</math> <br />
 +
Beh.: <math>\left| \alpha  \right| < \left| \beta  \right|</math> <br />
 +
Beweis:
  
 +
{| class="wikitable sortable"
 +
!Überschrift 1!!Überschrift 2
 +
|-
 +
| (1) <math>\exists \overline{CL} : L\in AB \wedge \ CL \perp \ AB</math> || Existenz und Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade
 +
|-
 +
| (2) <math>\exists A' : A' \in AB \wedge \left| AL \right| = \left| A'L \right| \wedge A\neq A'</math> || Axiome Abstand, Lineal, (1)
 +
|-
 +
| (3) <math>\overline{LC} \tilde {=} \overline{LC}</math>  || trivial
 +
|-
 +
| (4) <math>\overline{ALC} \tilde {=} \overline{A'LC}</math>  || SWS, (1),(2),(3)
 +
|-
 +
| (5) <math>\alpha \tilde {=} \alpha '</math> || (4)
 +
|-
 +
| (6) <math>\left| \beta \right|  > \left| \alpha '\right|</math> || schwacher Ausenwikelsatz
 +
|-
 +
| (7) <math>\left| \beta \right|  > \left| \alpha \right|</math> || (5),(6)
 +
|}--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 16:47, 28. Jan. 2012 (CET)<br />
 +
<ggb_applet width="480" height="454"  version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
 +
 +
 +
 +
 +
 +
<br /><br />
 
'''Beweisidee:'''
 
'''Beweisidee:'''
 
Ich weiß nicht, obs zu simple wäre, aber Herr Schnirch meinte, 2 Zeilen reichen.
 
Ich weiß nicht, obs zu simple wäre, aber Herr Schnirch meinte, 2 Zeilen reichen.

Version vom 28. Januar 2012, 17:47 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber)
Es sei \overline{ABC} ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|
Beweis von Satz IX.2

Es sei \overline{ABC} ein Dreieck.

Voraussetzung:
\left| BC \right| > \left| AC \right| bzw. \left| a\right| > \left| b \right|

Behauptung:
\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|

Die folgenden Hilfskonstruktionen liefern die Beweisidee (kommentieren Sie die Abbildungen und führen Sie den Beweis):

Seite winkel 01.png Seite winkel 02.png


Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber)
Es sei \overline{ABC} ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right|
Beweis von Satz IX.3

Übungsaufgabe

"Bierkastenbeweis"
Ich denke ich kann beweisen wie in der Vorlesung heute Morgen gewünscht.
Weiß nur nicht ob ich diesen Beweis in Wiki stellen soll, möchte es unseren Nachfolgern auch wieder die Chance lassen einen Kasten zu gewinnen.
Was meint ihr?--RicRic 16:58, 20. Jan. 2012 (CET)
Nachdem ich ja jetzt den Bierkasten habe, möchte ich bei erhalt jeden der sich dises Semester öfters akiv im Geowiki beteiligt hat, auf ein Bier einladen, die Tutoren natürlich auch und nur solange der Vorrat reicht :-)--RicRic 16:47, 28. Jan. 2012 (CET) Vor: \left| a \right| < \left| b \right|
Beh.: \left| \alpha \right| < \left| \beta \right|
Beweis:

Überschrift 1 Überschrift 2
(1) \exists \overline{CL} : L\in AB \wedge \ CL \perp \ AB Existenz und Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade
(2) \exists A' : A' \in AB \wedge \left| AL \right| = \left| A'L \right| \wedge A\neq A' Axiome Abstand, Lineal, (1)
(3) \overline{LC} \tilde {=} \overline{LC} trivial
(4) \overline{ALC} \tilde {=} \overline{A'LC} SWS, (1),(2),(3)
(5) \alpha \tilde {=} \alpha ' (4)
(6) \left| \beta \right| > \left| \alpha '\right| schwacher Ausenwikelsatz
(7) \left| \beta \right| > \left| \alpha \right| (5),(6)
--RicRic 16:47, 28. Jan. 2012 (CET)





Beweisidee: Ich weiß nicht, obs zu simple wäre, aber Herr Schnirch meinte, 2 Zeilen reichen.

Vor.:
\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|

Beh.:
\left| a \right| >\left| b \right|

Annahme:
\left| a \right| <\left| b \right| oder \left| a \right| =\left| b \right| oBdA

Beweis Fall 1:
\left| \alpha neu \right| < \left| \beta neu \right| Begründung: Annahme, Satz IX.2 (größere Seite, größerer Winkel)
Widerspruch zur Vor.

Beweis Fall 2:
\left| \alpha neu \right| = \left| \beta neu \right| Begründung: Annahme, Basiswinkelsatz
Widerspruch zur Vor.
ps Ja halte ich für richtig.--RicRic 07:55, 23. Jan. 2012 (CET)

Von „http://geometrie.zum.de/index.php?title=Beziehungen_zwischen_den_Seitenlängen_und_den_Innenwinkelgrößen_eines_Dreiecks_WS_11/12&oldid=10900“